sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.

partie i : Aucune justification n'est demandée

Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

1. Dans l'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$, on désigne par (S) l'ensemble des points M de coordonnées $\left(x;y;z\right)$ tels que $z=2x-y^2+1$ et par (P) le plan d'équation $2x+3y-5=0$

   1. La surface (S) passe par le point de coordonnées :

      $\left(1;-1;4\right)$

      $\left(-1;-1;0\right)$

      $\left(1;-1;2\right)$

   2. La courbe de niveau de cote 3 de la surface (S) est :

      Les coordonnées des points $M\left(x;y;3\right)$ de la courbe de niveau de cote 3 de la surface (S) vérifient l'équation $$\begin{array}{ccc}3=2x-y^2+1& \iff & x=\cdots \end{array}$$

      une droite

      une parabole

      une hyperbole

   3. Le plan (P) :

      Dans l'espace est muni d'un repère l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ tels que $ax+by=d$ est un plan parallèle à l'axe …

      contient le point de coordonnées $\left(0;0;-5\right)$

      est parallèle au plan $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$

      est parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{k}\right)$

2. Soient G le graphe probabiliste ci-dessous et M la matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.

   La matrice M de transition associée à ce graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$ d'où $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

   $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,23}& \mathrm{0,77}\\ \mathrm{0,22}& \mathrm{0,78}\end{array}\right)$

   $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$

   $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$

partie ii : Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.

Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera 1 point.
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. On considère le graphe H.

   On peut affirmer que :

   1. Dans un graphe non orienté, le degré d'un sommet du graphe est le nombre d'arêtes issues de ce sommet. D'où :

      Sommets	A	B	C	D	E
      Degré des sommets du graphe	3	…	…	…	…

      Le graphe H admet une chaîne eulérienne.

      Le graphe H admet un cycle eulérien.

      Le graphe H est complet.

   2.  

      Le nombre chromatique du graphe est 3.

      Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4.

      Le graphe n'est pas connexe.

2. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0=4$ et, pour tout entier naturel n, par $u_{n+1}=-\mathrm{0,4}{u}_n+1750$. On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-1250$. Alors :

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{v}_{n+1}=u_{n+1}-1250& \iff & v_{n+1}=-\mathrm{0,4}{u}_n+1750-1250\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=-\mathrm{0,4}\times \left(\cdots \right)\hfill \end{array}$$

   La suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique.

   La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

   La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

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