Baccalauréat septembre 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
On note Xi l'année, l'indice i étant un nombre entier variant de 1 à 8.
On note xi le rang de l'année par rapport à 1960 : xi=Xi-1960.
On désigne par yi le nombre de bouquetins l'année Xi.

(Source : http://www.bouquetin-des-alpes.org/populations/vanoise/vanoise.htm)
Année 19631976198619931997199820032004
Rang de l'année xi316263337384345
Nombre de bouquetins yi655007001 2501 4531 8002 0662 568

On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

  • 5 cm pour 10 années sur l'axe des abscisses ;
  • 1 cm pour 200 bouquetins sur l'axe des ordonnées.

On note Mi le point de coordonnées (xi;yi).
Ainsi M1 a pour coordonnées (3;65) et M3 a pour coordonnées (26;700).

  1. En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 et M8.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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  2. Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points M3, M4, M5, M6, M7 et M8.
    On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation y=92,6x-1787

    1. Tracer cette droite D sur le graphique précédent.

      La droite D passe par les points de coordonnées (20;65) et (45;2380).

    2. Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.

      Le rang de l'année 2010 est 50 et 92,6×50-1787=2843

      Avec cet ajustement, en 2010, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise est 2843.


  3. Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 et M8. L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série.

    1. On pose zi=ln(yi).
      Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

      Les valeurs de zi arrondies au milième près, sont données ci dessous :

      Rang xi316263337384345
      zi=ln(yi)4,1746,2156,5517,1317,2817,4967,6337,851

      Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est z=0,08x+4,38 (coefficients arrondis arrondis au centième près).


    2. En déduire une relation entre y et x de la forme y=AeBx, A étant arrondi à l'unité et B au centième.

      Pour tout réel y>0 , z=lnyy=expz d'où y=e0,08x+4,38y=e4,38×e0,08x

      Or l'arrondi à l'unité de e4,38 est 80.

      Une estimation du nombre de bouquetins y en fonction du rang x de l'année est y=80e0,08x.


    3. En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc.

      80×e0,08×504368

      Avec cet ajustement, en 2010, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise est 4368.


    4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle 5 000 unités ?

      Le rang de l'année à partir de laquelle le nombre de bouquetins dépassera 5 000 est le plus petit entier n tel que 80e0,08n5000e0,08n62,50,08nln62,5la fonction ln est strictement croissantenln62,50,08Or ln62,50,0851,7 donc n=52

      Avec ce modèle, la population de bouquetins dépassera 5 000 unités à partir de 2012.



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