L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
On note l'année, l'indice i étant un nombre entier variant de 1 à 8.
On note le rang de l'année par rapport à 1960 : .
On désigne par le nombre de bouquetins l'année .
Année | 1963 | 1976 | 1986 | 1993 | 1997 | 1998 | 2003 | 2004 |
Rang de l'année | 3 | 16 | 26 | 33 | 37 | 38 | 43 | 45 |
Nombre de bouquetins | 65 | 500 | 700 | 1 250 | 1 453 | 1 800 | 2 066 | 2 568 |
On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
On note le point de coordonnées .
Ainsi a pour coordonnées et a pour coordonnées .
En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points , , , , , , et .
Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points , , , , et .
On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation
Tracer cette droite D sur le graphique précédent.
La droite D passe par les points de coordonnées et .
Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.
Le rang de l'année 2010 est 50 et
Avec cet ajustement, en 2010, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise est 2843.
Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points , , , , , , et . L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série.
On pose .
Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
Les valeurs de arrondies au milième près, sont données ci dessous :
Rang | 3 | 16 | 26 | 33 | 37 | 38 | 43 | 45 |
4,174 | 6,215 | 6,551 | 7,131 | 7,281 | 7,496 | 7,633 | 7,851 |
Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est (coefficients arrondis arrondis au centième près).
En déduire une relation entre y et x de la forme , A étant arrondi à l'unité et B au centième.
Pour tout réel , d'où
Or l'arrondi à l'unité de est 80.
Une estimation du nombre de bouquetins y en fonction du rang x de l'année est .
En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc.
Avec cet ajustement, en 2010, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise est 4368.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle 5 000 unités ?
Le rang de l'année à partir de laquelle le nombre de bouquetins dépassera 5 000 est le plus petit entier n tel que Or donc
Avec ce modèle, la population de bouquetins dépassera 5 000 unités à partir de 2012.
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