sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Dans cette question aucune justification n'est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormal fourni en annexe qui sera rendu avec la copie.

   On souhaite tracer la courbe représentative C d'une fonction f  satisfaisant les conditions suivantes :

   • La fonction f  est définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   • Le maximum de la fonction f  est 5, il est atteint pour $x=0$.

   • Le minimum de la fonction f  est 1.

   • La fonction f  est dérivable sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f  et on sait que $f\prime \left(0\right)=-3$, $f\left(6\right)=3$ et $f\prime \left(6\right)=2$.

   • Le signe de la fonction dérivée $f\prime$ de f  est donné par le tableau suivant :

     x	0		4		6
     Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   1. Compléter le tableau de variations de la fonction f, fourni en annexe. On fera figurer dans le tableau les images par f  de 0, de 4 et de 6.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$

      x	0		4		6
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	5		1		3

   2. Donner l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 6.

      Une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 6 est $y=f\prime \left(6\right)\times \left(x-6\right)+f\left(6\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}y=2\times \left(x-6\right)+3& \iff & y=2x-9\hfill \end{array}$$

      La tangente à la courbe C au point d'abscisse 6 a pour équation $y=2x-9$.

      ---

   3. Tracer dans le repère fourni en annexe 2 la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus.
      On placera les points d'abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.

      • Une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 est $y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$. Soit $y=-3x+5$.

      • $f\prime \left(4\right)=0$, alors la tangente à la courbe C au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des anscisses. Son équation est $y=1$

2. Dans cette question toute réponse doit être justifiée.
   On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$

   1. Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.
      Compléter le tableau de variation de la fonction g fourni en annexe. On précisera les valeurs de $g\left(0\right)$, $g\left(4\right)$ et $g\left(6\right)$.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction exponentielle. Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$. D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, g a les mêmes variations que la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

      $$\begin{array}{ccccc}g\left(0\right)={\mathrm{e}}^{f\left(0\right)}={\mathrm{e}}^5& \text{;}& g\left(4\right)={\mathrm{e}}^{f\left(4\right)}=\mathrm{e}& \text{et}& g\left(6\right)={\mathrm{e}}^{f\left(6\right)}={\mathrm{e}}^3\end{array}$$ D'où le tableau des variations de la fonction g :

      x	0		4		6
      Variations de g	${\mathrm{e}}^5$		e		${\mathrm{e}}^3$

   2. Déterminer $g\prime \left(0\right)$.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction exponentielle. Par conséquent, la dérivée de la fonction g est la fonction $g\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $g\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$.

      D'où $g\prime \left(0\right)=f\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{f\left(0\right)}$. Soit $g\prime \left(0\right)=-3{\mathrm{e}}^5$

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