Baccalauréat session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : Observation d'une suite de nombres

On donne ci-dessus la représentation graphique des 16 premiers termes d'une suite $(u_{n})$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ .
Les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ ont été calculés avec un tableur :
n 0 1 2 3
$u_{n}$ 161 104,6 70,76 50,456
La suite $(u_{n})$ peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée.
Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .

partie b : Étude de la suite

La suite $(u_{n})$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel n par $u_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$ .

Calculer $u_{4}$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 20$ .
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison.
Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de n, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$ et en déduire celle de la suite $(u_{n})$ .
$0 < 0,6 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,6}^{n} = 0$

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n	0	1	2	3
$u_{n}$	161	104,6	70,76	50,456