sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé :

   • 50 % des étudiants ont le profil A, 20 % des étudiants ont le profil B et 30 % des étudiants ont le profil C donc $p\left(A\right)=\mathrm{0,5}$, $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$ et $p\left(C\right)=\mathrm{0,3}$

   • 70 % des étudiants ayant le profil A ont une note supérieure ou égale à 10, 75 % des étudiants ayant le profil B ont une note supérieure ou égale à 10 et 85 % des étudiants ayant le profil C ont une note supérieure ou égale à 10.
     Donc $p_A\left(M\right)=\mathrm{0,7}$, $p_A\left(\overline{M}\right)=\mathrm{0,3}$, $p_B\left(M\right)=\mathrm{0,75}$, $p_B\left(\overline{M}\right)=\mathrm{0,25}$ , $p_C\left(M\right)=\mathrm{0,85}$ et $p_C\left(\overline{M}\right)=\mathrm{0,15}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé

   Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième.

2. Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit de profil C et qu'il ait obtenu une note supérieure ou égale à 10.

   $p\left(C\cap M\right)=p_C\left(M\right)\times p\left(C\right)$ Soit $p\left(C\cap M\right)=\mathrm{0,85}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,255}$

   La probabilité que l'étudiant choisi soit de profil C et qu'il ait obtenu une note supérieure ou égale à 10 est égale à 0,255.

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3. Démontrer $p\left(M\right)=\mathrm{0,755}$.

   Les évènements A, B et C forment une partition de l'ensembles des résultats élémentaires de l'expérience aléatoire alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(M\right)=p\left(A\cap M\right)+p\left(B\cap M\right)+p\left(C\cap M\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(A\cap M\right)=p_A\left(M\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap M\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,35}\\ \text{et}& p\left(B\cap M\right)=p_B\left(M\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap M\right)=\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,15}\end{array}$$

   D'où $$p\left(M\right)=\mathrm{0,35}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,255}=\mathrm{0,755}$$

   La probabilité que l'étudiant choisi ait obtenu une note supérieure ou égale à 10 est égale à 0,755.

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4. Calculer la probabilité que l'étudiant soit de profil B sachant qu'il a obtenu une note strictement inférieure à 10.

   $p_{\overline{M}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap \overline{M}\right)}{p\left(\overline{M}\right)}}$. Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{M}\right)=1-p\left(M\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{M}\right)=1-\mathrm{0,755}=\mathrm{0,245}\\ \text{et}& p\left(B\cap \overline{M}\right)=p\left(B\right)-p\left(B\cap M\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap \overline{M}\right)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   D'où $$p_{\overline{M}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,245}}}\approx \mathrm{0,204}$$

   La probabilité que l'étudiant soit de profil B sachant qu'il a obtenu une note strictement inférieure à 10 est égale à 0,204.

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5. On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d'étudiants est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise.
   Calculer la probabilité qu'exactement trois de ces étudiants soient du profil C.

   On admet que le nombre d'étudiants est suffisamment grand pour que le choix des quatre étudiants soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise alors, la loi de probabilité associée au nombre d'étudiants ayant le profil C est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,3.

   Quatre issues $CCC\overline{C}$, $CC\overline{C}C$, $C\overline{C}CC$ et $\overline{C}CCC$ correspondent à l'évènement E " exactement trois de ces étudiants sont du profil C ". D'où $$p\left(E\right)=4\times {\mathrm{0,3}}^3\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,0756}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'exactement trois étudiants soient du profil C est 0,076.

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