Baccalauréat session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction g définie sur [1;+[ par g(x)=lnx-12.

  1. Étudier les variations de g sur [1;+[.

    La fonction logarithme népérien définie sur ]0;+[ par xlnx est strictement croissante et la fonction affine définie sur par xx-12 est strictement croissante.

    Par composition, la fonction g définie sur [1;+[ par g(x)=lnx-12 est strictement croissante.


  2. Résoudre l'équation g(x)=0 dans [1;+[.

    Pour tout réel x strictement positif, lnx-12=0lnx=12x=e12x=e

    Or e>1 donc l'équation g(x)=0 admet pour unique solution x=e.


  3. En déduire que g(x)>0 si, et seulement si, x>e

    g est strictement croissante sur l'intervalle [1;+[ et g(x)=0x=e alors g(x)>0x>e.


partie b

On considère la fonction f définie sur [1;+[ par f(x)=2x2(lnx-1)+2.

  1. Déterminer la limite de f en +.

    limx+ln(x)=+ et limx+x2=+ d'où limx+2x2(lnx-1)+2=+

    Ainsi, limx+f(x)=+


  2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [1;+[.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+[, f(x)=4xg(x)

      f=uv+2, d'où f=uv+uv avec u(x)=2x2;u(x)=4xv(x)=lnx-1;v(x)=1x

      Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+[, f(x)=4x(lnx-1)+2x2×1x=4xlnx-4x+2x=4x(lnx-12)

      Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+[, f(x)=4xg(x).


    2. Étudier le signe de f(x) sur [1;+[ et en déduire le tableau de variations de f sur [1;+[.

      Sur [1;+[, 4xg(x) est du même signe que g(x).

      D'où le tableau suivant établissant le signe de f(x) ainsi que les variations de f sur [1;+[

      x1 e +
      Signe de f(x) 0||+ 
      Variations de f

      0

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2-e

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

      f(1)=-2+2=0 et f(e)=2e×(lne-1)+2=2e×(-12)+2=2-e

    1. Montrer que, dans l'intervalle [2;3], l'équation f(x)=0 admet une solution unique notée α

      f(2)=8(ln2-1)+2=8ln2-6-0,45 et f(3)=18(ln3-1)+2=18ln3-163,775

      Sur l'intervalle [2;3], la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et f(2)<0<f(2) alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      L'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans l'intervalle [2;3].


    2. Déterminer un encadrement d'amplitude 10−2 de α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve : f(2,2)-0,05etf(2,3)0,23d'où2,2<α<2,3f(2,21)-0,02etf(2,22)0,004d'où2,21<α<2,22

      L'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans l'intervalle [2,21;2,22].



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