On considère la fonction g définie sur par .
Étudier les variations de g sur .
La fonction logarithme népérien définie sur par est strictement croissante et la fonction affine définie sur par est strictement croissante.
Par composition, la fonction g définie sur par est strictement croissante.
Résoudre l'équation dans .
Pour tout réel x strictement positif,
Or donc l'équation admet pour unique solution .
En déduire que si, et seulement si,
g est strictement croissante sur l'intervalle et alors .
On considère la fonction f définie sur par .
Déterminer la limite de f en .
et d'où
Ainsi,
On appelle la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle .
Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle ,
, d'où avec
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle , .
Étudier le signe de sur et en déduire le tableau de variations de f sur .
Sur , est du même signe que .
D'où le tableau suivant établissant le signe de ainsi que les variations de f sur
x | 1 | ||||
Signe de | − | + | |||
Variations de f | 0 |
et
Montrer que, dans l'intervalle , l'équation admet une solution unique notée α
et
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une solution unique α dans l'intervalle .
Déterminer un encadrement d'amplitude 10−2 de α.
À l'aide de la calculatrice, on trouve :
L'équation admet une solution unique α dans l'intervalle .
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.