Baccalauréat session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Énoncé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction g définie sur [1;+∞[ par g⁡(x)=ln⁡x-12.

  1. Étudier les variations de g sur [1;+∞[.

  2. Résoudre l'équation g⁡(x)=0 dans [1;+∞[.

  3. En déduire que g⁡(x)>0 si, et seulement si, x>e

partie b

On considère la fonction f définie sur [1;+∞[ par f⁡(x)=2⁢x2⁢(ln⁡x-1)+2.

  1. Déterminer la limite de f en +∞.

  2. On appelle f′ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [1;+∞[.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+∞[, f′⁡(x)=4⁢x⁢g⁡(x)

    2. Étudier le signe de f′⁡(x) sur [1;+∞[ et en déduire le tableau de variations de f sur [1;+∞[.

    1. Montrer que, dans l'intervalle [2;3], l'équation f⁡(x)=0 admet une solution unique notée α

    2. Déterminer un encadrement d'amplitude 10−2 de α.

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