Baccalauréat session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : Observation d'une suite de nombres

On donne ci-dessus la représentation graphique des 16 premiers termes d'une suite $(u_{n})$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ .
D'après la représentation graphique, la limite de la suite $(u_{n})$ semble être égale à 20.
Les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ ont été calculés avec un tableur :
n 0 1 2 3
$u_{n}$ 161 104,6 70,76 50,456
La suite $(u_{n})$ peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée.
$\begin{matrix} \frac{u_{1}}{u_{0}} = \frac{104,6}{161} \approx 0,65 & et & \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{70,76}{104,6} \approx 0,68 \end{matrix}$
Il n'existe pas de réel q tel que pour tout entier n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ donc la suite $(u_{n})$ n'est pas une suite géométrique.

partie b : Étude de la suite

La suite $(u_{n})$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel n par $u_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$

Calculer $u_{4}$ .
$\begin{matrix} u_{4} = 0,6 u_{3} + 8 & Soit & u_{4} = 0,6 \times 50,456 + 8 = 38,2736 \end{matrix}$
$u_{4} = 38,2736$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 20$ .
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison.
Le premier terme de la suite $(v_{n})$ est : $\begin{matrix} v_{0} = u_{0} - 20 & Soit & v_{0} = 161 - 20 = 141 \end{matrix}$
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} v_{n + 1} = u_{n + 1} - 20 & \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 8 - 20 \\ \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 0,6 u_{n} - 12 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,6 (u_{n} - 20) \\ \Leftrightarrow & v_{n + 1} = 0,6 \times v_{n} \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,6 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6. Le premier terme de la suite $(v_{n})$ est $v_{0} = 141$ .
Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de n, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $v_{0} = 141$ alors, pour tout entier naturel n, $v_{n} = 141 \times {(0,6)}^{n}$
Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$ et en déduire celle de la suite $(u_{n})$ .
$0 < 0,6 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,6}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} 141 \times {(0,6)}^{n} = 0$
Pour tout entier naturel n $v_{n} = u_{n} - 20 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 20$ . Or $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 20$
La suite $(v_{n})$ converge vers 0 et la suite $(u_{n})$ converge vers 20.

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n	0	1	2	3
$u_{n}$	161	104,6	70,76	50,456