sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.

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1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-4;6\right]$ dont la courbe est représentée sur la figure ci-dessous dans un repère orthonormé.
   Les points $A\left(-1;0\right)$, $B\left(1;4\right)$ et $C\left(3;0\right)$ appartiennent à la représentation graphique de f.

   Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction f ?

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;6\right]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;6\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations d'une primitive F se déduisent du signe de f sur l'intervalle $\left[-4;6\right]$.

   x	− 4		− 1		3		6
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

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   La courbe $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter une primitive de la fonction f.

   Courbe $C_1$

   Courbe $C_2$

   Courbe $C_3$

2. Une primitive de la fonction g définie sur l'ensemble des nombres réels $ℝ$ par $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x$ est la fonction G définie sur $ℝ$ par :

   Les trois fonctions G proposées sont de la forme $G=uv$ elles sont une dérivables et la dérivée de chacune de ces trois fonctions est de la forme $G\prime =u\prime v+uv\prime$.

   1. $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}{\mathrm{e}}^x$ :$$\begin{array}{ccc}\begin{array}{lll}u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=x\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}\}& \text{donc}& G\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   2. $G\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$ :$$\begin{array}{ccccc}\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}\}& \text{donc}& G\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x+\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x& \text{soit}& G\prime \left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   3. $G\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x$ : $$\begin{array}{ccccc}\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}\}& \text{donc}& G\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x+\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x& \text{soit}& G\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Ainsi, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc la fonction G définie par $G\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de la fonction g

   $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}{\mathrm{e}}^x$

   $G\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$

   $G\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x$

3. La fonction h définie sur l'ensemble des nombres réels $ℝ$ par $h\left(x\right)={\mathrm{0,8}}^x$ est égale à la fonction k définie sur $ℝ$ par :

   Par définition, pour tout réel a strictement positif, et pour tout réel x$$a^x={\mathrm{e}}^{x\ln \left(a\right)}$$

   $k\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x\ln \left(\mathrm{0,8}\right)}$

   $k\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}\ln \left(x\right)}$

   $k\left(x\right)=\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^x$

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