Soit f la fonction définie sur l'intervalle par
Calculer et .
et
On admet que la fonction f est dérivable sur ; on note sa fonction dérivée sur cet intervalle.
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle ,
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Cherchons une factorisation du polynôme du second degré avec , et
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc le polynôme admet deux racines :
Ainsi pour tout réel x,
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier le signe de sur .
Pour tout réel ,
Par conséquent, est du même signe que le trinôme sur l'intervalle .
Or un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x :
x | 0 | 5 | 10 | ||
Signe de | + | − |
Déterminer les variations de la fonction f sur .
Les variations de la fonction f sur l'intervalle se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :
x | 0 | 5 | 10 | ||
+ | − | ||||
Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction f sur .
D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction f est atteint pour et
Le maximum de la fonction f sur est égal à soit arrondi au dixième 5,3.
Justifier que l'équation admet dans l'intervalle une solution unique .
Sur l'intervalle , f est dérivable donc continue. D'autre part, f est une fonction strictement décroissante sur cet intervalle et Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une solution unique .
Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à 10 − 1 de .
L'arrondi de au dixième près obtenu à la calculatrice est 9,4.
On admet qu'une primitive de la fonction f sur est la fonction F définie par : Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de est 2,8.
Ainsi,
À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
On note x le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On suppose que x est un réel compris entre 0 et 10.
Le bénéfice réalisé pour la vente de x milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction f définie sur par Déduire de la partie A les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.
Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ?
Le supermarché réalise un bénéfice pour une quantité x de guirlandes telle que
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement croissante et donc si alors
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement décroissante et donc si alors
Or la valeur approchée au dixième près par excès de est 9,4, compte tenu de la décroissance de la fonction f il faut prendre pour valeur approchée au dixième près de 9,3
Pour réaliser un bénéfice, le supermarché doit vendre entre 1000 et 9 300 guirlandes.
Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à 100 euros près).
D'après la question 3c, l'arrondi au dixième du maximum de la fonction f est 5,3 atteint pour
Le bénéfice maximum que peut réaliser le supermarché est de 5 300 euros obtenu en vendant 5 000 guirlandes.
Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes ?
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est
Le bénéfice moyen que peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes est de 2 800 euros.
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