Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par f(x)=-0,25x2+2x+3ln(x+1)-1,75-3ln2

  1. Calculer f(0) et f(1).

    f(0)=3ln1-1,75-3ln2=-1,75-3ln2
    f(1)=-0,25+2+3ln2-1,75-3ln2=0

    f(0)=-1,75-3ln2 et f(1)=0


  2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0;10] ; on note f sa fonction dérivée sur cet intervalle.
    Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0;10], f(x)=-0,5(x+2)(x-5)x+1

    Pour tout réel x de l'intervalle [0;10], f(x)=-0,5x+2+3×1x+1f(x)=-0,5x×(x+1)+2×(x+1)+3x+1f(x)=-0,5x2+1,5x+5x+1

    Cherchons une factorisation du polynôme du second degré -0,5x2+1,5x+5 avec a=-0,5, b=1,5 et c=5

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=2,25+10=12,25

    Δ>0 donc le polynôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-1,5-3,5-1=5etx2=-b+Δ2aSoitx2=-1,5+3,5-1=-2

    Ainsi pour tout réel x, -0,5x2+1,5x+5=-0,5(x+2)(x-5)

    La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [0;10] par f(x)=-0,5(x+2)(x-5)x+1


    1. Étudier le signe de f(x) sur [0;10].

      Pour tout réel x>-1, x+1>0

      Par conséquent, f(x) est du même signe que le trinôme -0,5x2+1,5x+5 sur l'intervalle [0;10].

      Or un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x :

      x0 5 10
      Signe de f(x) +0|| 
    2. Déterminer les variations de la fonction f  sur [0;10].

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;+[ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :

      x0 5 10
      f(x) +0|| 
      f(x)

      f(0)

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(5)

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(10)

    3. Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction f  sur [0;10].

      D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction f est atteint pour x=5 et f(5)=-0,25×25+10+3ln6-1,75-3ln2=2+3ln3

      Le maximum de la fonction f sur [0;10] est égal à 2+3ln3 soit arrondi au dixième 5,3.


    1. Justifier que l'équation f(x)=0 admet dans l'intervalle [5;10] une solution unique x0.

      f(10)=-25+20+3ln11-1,75-3ln2-1,6

      Sur l'intervalle [5;10], f est dérivable donc continue. D'autre part, f est une fonction strictement décroissante sur cet intervalle et f(10)<0<f(5) Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      L'équation f(x)=0 admet une solution unique x0[5;10].


    2. Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à 10 − 1 de x0.

      L'arrondi de x0 au dixième près obtenu à la calculatrice est 9,4.


  3. On admet qu'une primitive de la fonction f  sur [0;10] est la fonction F définie par : F(x)=-112x3+x2-(4,75+3ln2)x+3(x+1)ln(x+1) Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de 110010f(x)dx est 2,8.

    110010f(x)dx=110×[-112x3+x2-(4,75+3ln2)x+3(x+1)ln(x+1)]010=110×(-100012+100-47,5-30ln2+33ln11)=3,3ln11-3ln2-3712

    Ainsi, 110010f(x)dx2,8



partie b

À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
On note x le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On suppose que x est un réel compris entre 0 et 10.
Le bénéfice réalisé pour la vente de x  milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction f  définie sur [0;10] par f(x)=-0,25x2+2x+3ln(x+1)-1,75-3ln2 Déduire de la partie A les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.

  1. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ?

    Le supermarché réalise un bénéfice pour une quantité x de guirlandes telle que f(x)0

    Sur l'intervalle [0;5], la fonction f est strictement croissante et f(1)=0 donc si 1x5 alors f(x)0

    Sur l'intervalle [5;10], la fonction f est strictement décroissante et f(x0)=0 donc si 5xx0 alors f(x)0
    Or la valeur approchée au dixième près par excès de x0 est 9,4, compte tenu de la décroissance de la fonction f il faut prendre pour valeur approchée au dixième près de x0 9,3

    Pour réaliser un bénéfice, le supermarché doit vendre entre 1000 et 9 300 guirlandes.


  2. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à 100 euros près).

    D'après la question 3c, l'arrondi au dixième du maximum de la fonction f est 5,3 atteint pour x=5

    Le bénéfice maximum que peut réaliser le supermarché est de 5 300 euros obtenu en vendant 5 000 guirlandes.


  3. Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes ?

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;10] est m=110010f(x)dx2,8

    Le bénéfice moyen que peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes est de 2 800 euros.



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