sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,25}{x}^2+2x+3\ln \left(x+1\right)-\mathrm{1,75}-3\ln 2$

1. Calculer $f\left(0\right)$ et $f\left(1\right)$.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur $\left[0;10\right]$ ; on note $f\prime$ sa fonction dérivée sur cet intervalle.

   Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}\left(x+2\right)\left(x-5\right)}{x+1}}$

3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[0;10\right]$.

   2. Déterminer les variations de la fonction f  sur $\left[0;10\right]$.

   3. Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction f  sur $\left[0;10\right]$.

4. 1. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet dans l'intervalle $\left[5;10\right]$ une solution unique $x_0$.

      théorème de la valeur intermédiaire :
      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   2. Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à 10 ^{− 1} de $x_0$.

5. On admet qu'une primitive de la fonction f  sur $\left[0;10\right]$ est la fonction F définie par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{-1}{12}}{x}^3+x^2-\left(\mathrm{4,75}+3\ln 2\right)x+3\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$$ Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de ${\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est 2,8.

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partie b

À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
On note x le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On suppose que x est un réel compris entre 0 et 10.
Le bénéfice réalisé pour la vente de x  milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction f définie sur $\left[0;10\right]$ par $$f\left(x\right)=-\mathrm{0,25}{x}^2+2x+3\ln \left(x+1\right)-\mathrm{1,75}-3\ln 2$$ Déduire de la partie A les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.

1. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ?

2. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à 100 euros près).

3. Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes ?

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