Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.

  1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle -46 dont la courbe est représentée sur la figure ci-dessous dans un repère orthonormé.
    Les points A-10, B14 et C30 appartiennent à la représentation graphique de f.

    Courbe représentée de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction f ?

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Courbe C1

    Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Courbe C2

    Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Courbe C3

  2. Une primitive de la fonction g définie sur l'ensemble des nombres réels par gx=xex est la fonction G définie sur par :

    Gx=x22ex

    Gx=x+1ex

    Gx=x-1ex

  3. La fonction h définie sur l'ensemble des nombres réels par hx=0,8x est égale à la fonction k définie sur par :

    kx=exln0,8

    kx=e0,8lnx

    kx=0,8ex


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : d'une part le logiciel Bestmath, leader du marché, et d'autre part le logiciel Aurora, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est 0,32.
Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20 % des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25 % des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.

On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :
A1 : « la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année » ;
B1 : « la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année » ;
A2 : « la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année » ;
B2 : « la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année ».

  1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.

  2. Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.

  3. Vérifier que la probabilité de l'évènement B2 est pB2=0,574.

  4. Calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (on donnera le résultat arrondi au millième).

  5. On interroge au hasard et de façon indépendante trois informaticiens du service.

    1. Calculer la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée du résultat à 10 − 3 près).

    2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée à 10 − 3 près)


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d'une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d'autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l'enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32 % des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté que 20 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel Bestmath, tandis que 25 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l'on appellera semestre 0 (juillet 2009 est donc le semestre 1).

Pour tout entier naturel n, on désigne par :

    1. Traduire les données l'énoncé par un graphe probabiliste.

    2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

    1. On note P0=a0b0 l'état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer P0.

    2. On appelle P1 l'état de la société en juillet 2009. Vérifier que P1=0,4260,574.

    3. On appelle P2 l'état en janvier 2010. Déterminer P2 (les résultats seront arrondis à 10 − 3).

  1. Dans cette partie on étudie la suite an.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : an+1=0,55an+0,25 .

    2. On considère la suite Un définie pour tout entier naturel n par Un=59-an .

      Démontrer que la suite Un est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme.

    3. En déduire l'expression de Un puis de an en fonction de n.

  2. Soit P=xy l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer x et y.

    2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

      On suppose que l'utilisation du logiciel Aurora dans l'entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60 % des informaticiens de l'entreprise ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Dans le cadre de son action en faveur du développement durable, le conseil Régional d'une région A de France métropolitaine rassemble et analyse des données sur la circulation des déchets valorisables par le recyclage. Depuis 2000, le ministère de l'Environnement fournit des données statistiques sur les quantités de déchets exportés de la région A en vue de leur valorisation

Source : Ministère de l'Environnement (MEEDDAT)
année 2000200120022003200420052006
Rang de l'année xi , 1i71234567
Déchets exportés yi (en tonnes) 1i779781611401921219931654195
  1. Sur la feuille de papier millimétré jointe, représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi (1i7), le plan étant rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 200 tonnes sur l'axe des ordonnées.

  2. On considère qu'un ajustement exponentiel est adapté à l'analyse. Pour 1i7 on pose alors zi=lnyi.

    1. Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs de zi arrondies au centième :

      Rang de l'année xi , 1i71234567
      zi=lnyi, 1i7       
    2. À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme z=ax+b (les coefficients seront arrondis au millième).

    3. En déduire une approximation de la quantité de déchets exportés yi, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année x sous la forme y=αeβx où le coefficient α est arrondi à l'unité et le coefficient β est arrondi au centième.

  3. Selon cet ajustement, quelle quantité de déchets, arrondie à une centaine de tonnes, peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation à l'horizon 2011 ?


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 010 par fx=-0,25x2+2x+3lnx+1-1,75-3ln2

  1. Calculer f0 et f1.

  2. On admet que la fonction f est dérivable sur 010 ; on note f sa fonction dérivée sur cet intervalle.

    Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle 010, fx=-0,5x+2x-5x+1

    1. Étudier le signe de fx sur 010.

    2. Déterminer les variations de la fonction f  sur 010.

    3. Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction f  sur 010.

    1. Justifier que l'équation fx=0 admet dans l'intervalle 510 une solution unique x0.

    2. Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à 10 − 1 de x0.

  3. On admet qu'une primitive de la fonction f  sur 010 est la fonction F définie par : Fx=-112x3+x2-4,75+3ln2x+3x+1lnx+1 Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de 110010fxdx est 2,8.


partie b

À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
On note x le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On suppose que x est un réel compris entre 0 et 10.
Le bénéfice réalisé pour la vente de x  milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction f définie sur 010 par fx=-0,25x2+2x+3lnx+1-1,75-3ln2 Déduire de la partie A les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.

  1. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ?

  2. Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à 100 euros près).

  3. Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et 10 000 guirlandes ?



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