Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans le cadre de son action en faveur du développement durable, le conseil Régional d'une région A de France métropolitaine rassemble et analyse des données sur la circulation des déchets valorisables par le recyclage. Depuis 2000, le ministère de l'Environnement fournit des données statistiques sur les quantités de déchets exportés de la région A en vue de leur valorisation

Source : Ministère de l'Environnement (MEEDDAT)
année 2000200120022003200420052006
Rang de l'année xi , 1i71234567
Déchets exportés yi (en tonnes) 1i779781611401921219931654195
  1. Sur la feuille de papier millimétré jointe, représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) (1i7), le plan étant rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 200 tonnes sur l'axe des ordonnées.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On considère qu'un ajustement exponentiel est adapté à l'analyse. Pour 1i7 on pose alors zi=lnyi.

    1. Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs de zi arrondies au centième :

      Rang de l'année xi , 1i71234567
      zi=lnyi, 1i76,686,707,047,567,78,068,34
    2. À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme z=ax+b (les coefficients seront arrondis au millième).

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est z=0,299x+6,246 (coefficients arrondis au millième)


    3. En déduire une approximation de la quantité de déchets exportés yi, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année x sous la forme y=αeβx où le coefficient α est arrondi à l'unité et le coefficient β est arrondi au centième.

      Pour tout réel y>0 , z=lnyy=expz d'où y=e0,299x+6,246y=e6,246×e0,299x Or l'arrondi à l'unité de e6,246 est 516 et l'arrondi au centième de 0,299 est 0,3.

      Une estimation de la quantité de déchets exportés, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année est y=516e0,3x.


  3. Selon cet ajustement, quelle quantité de déchets, arrondie à une centaine de tonnes, peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation à l'horizon 2011 ?

    Le rang de l'année 2011 est 10 et y10=516e0,3×1010364

    Selon cette estimation, en 2011, la quantité de déchets, arrondie à une centaine de tonnes, qui peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation est de 10 400 tonnes.



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