Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : d'une part le logiciel Bestmath, leader du marché, et d'autre part le logiciel Aurora, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est 0,32.
Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20 % des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25 % des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.

On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :
$A_{1}$ : « la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année » ;
$B_{1}$ : « la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année » ;
$A_{2}$ : « la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année » ;
$B_{2}$ : « la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année ».

Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.
Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est 0,32 d'où $p (A_{1}) = 0,32$ et $\begin{matrix} p (B_{1}) = 1 - p (A_{1}) & soit & p (B_{1}) = 1 - 0,32 = 0,68 \end{matrix}$
Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que :
- 20 % des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath d'où $p_{A_{1}} (B_{2}) = 0,2$ et $\begin{matrix} p_{A_{1}} (A_{2}) = 1 - p_{A_{1}} (B_{2}) & soit & p_{A_{1}} (A_{2}) = 1 - 0,2 = 0,8 \end{matrix}$
- 25 % des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora d'où $p_{B_{1}} (A_{2}) = 0,25$ et $\begin{matrix} p_{B_{1}} (B_{2}) = 1 - p_{B_{1}} (A_{2}) & soit & p_{B_{1}} (B_{2}) = 1 - 0,25 = 0,75 \end{matrix}$
L'arbre pondéré traduisant la situation est :
Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.
$\begin{matrix} p (B_{1} \cap B_{2}) = p_{B_{1}} (B_{2}) \times p (B_{1}) & soit & p (B_{1} \cap B_{2}) = 0,75 \times 0,68 = 0,51 \end{matrix}$
La probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année est égale à 0,51.
Vérifier que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est $p (B_{2}) = 0,574$ .
Chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (B_{2}) = p (B_{1} \cap B_{2}) + p (A_{1} \cap B_{2})$
Or $\begin{matrix} p (A_{1} \cap B_{2}) = p_{A_{1}} (B_{2}) \times p (A_{1}) & soit & p (A_{1} \cap B_{2}) = 0,2 \times 0,32 = 0,064 \end{matrix}$ Donc $p (B_{2}) = 0,51 + 0,064 = 0,574$
La probabilité de l'évènement $B_{2}$ est $p (B_{2}) = 0,574$ .
Calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (on donnera le résultat arrondi au millième).
$\begin{matrix} p_{B_{2}} (B_{1}) = \frac{p (B_{1} \cap B_{2})}{p (B_{2})} & soit & p_{B_{2}} (B_{1}) = \frac{0,51}{0,574} \approx 0,889 \end{matrix}$
Arrondie au millième, la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année est 0,889.
On interroge au hasard et de façon indépendante trois informaticiens du service.
Dans cette question, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement $A_{2}$ ou à sa non réalisation $B_{2}$ . Or $\begin{matrix} p (A_{2}) = 1 - p (B_{2}) & soit & p (A_{2}) = 1 - 0,574 = 0,426 \end{matrix}$
Il s'agit de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous. La loi de probabilité associée au nombre d'informaticiens qui utilisent le logiciel Aurora la deuxième année est une loi binomiale de paramètres 0,426 et 3.
1. Calculer la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée du résultat à 10^{− 3} près).
  L'évènement «au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année» est l'évènement contraire de l'évènement «les trois informaticiens utilisent le logiciel Bestmath la deuxième année»
  Or la probabilité de l'évènement «les trois informaticiens utilisent le logiciel Bestmath la deuxième année» est : ${0,574}^{3}$ Donc la probabilité de l'évènement «au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année» est : $1 - {0,574}^{3} \approx 0,811$
  Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année est 0,811.
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
  Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée à 10⁻³ près)
  Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement «exactement deux des trois informaticiens utilisent le logiciel Aurora la deuxième année» $A_{2} A_{2} B_{2}$ , $A_{2} B_{2} A_{2}$ et $B_{2} A_{2} A_{2}$ . D'où la probabilité p : $p = 3 \times {0,426}^{2} \times 0,574 \approx 0,313$
  Arrondie au millième, la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année est 0,313.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.