sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Traduire les données l'énoncé par un graphe probabiliste.

      Soient $A_n$ l'évènement : « un informaticien utilise le logiciel Aurora le semestre n » et $B_n$ l'évènement : « un informaticien utilise le logiciel Bestmath le semestre n ».

      Lors de chaque relevé semestriel on constate que :
      20 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel Bestmath donc $$\begin{array}{cccc}& p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}& \text{d'où}& p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}\end{array}$$ 25 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora donc $$\begin{array}{cccc}& p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,25}& \text{d'où}& p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}\end{array}$$

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

   2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\hfill & \mathrm{0,2}\hfill \\ \mathrm{0,25}\hfill & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}\right)$

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2. 1. On note $P_0=\left(\begin{array}{cc}{a}_0& b_0\end{array}\right)$ l'état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer $P_0$.

      Lors de l'enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32 % des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath d'où $a_0=\mathrm{0,32}$ et $$\begin{array}{ccc}{b}_0=1-a_0& \text{soit}& b_0=1-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,68}\end{array}$$

      L'état initial de ce graphe en janvier 2009 est $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,32}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)$

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   2. On appelle $P_1$ l'état de la société en juillet 2009. Vérifier que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,426}& \mathrm{0,574}\end{array}\right)$.

      $\begin{array}{ccccc}{P}_1=P_0\times M& \text{Soit}& P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,32}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\hfill & \mathrm{0,2}\hfill \\ \mathrm{0,25}\hfill & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}\right)& \iff & P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,426}& \mathrm{0,574}\end{array}\right)\end{array}$

      L'état de la société en juillet 2009 est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,426}& \mathrm{0,574}\end{array}\right)$.

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   3. On appelle $P_2$ l'état en janvier 2010. Déterminer $P_2$ (les résultats seront arrondis à 10 ^{− 3}).

      $\begin{array}{ccc}{P}_2=P_0\times M^2& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,32}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\hfill & \mathrm{0,2}\hfill \\ \mathrm{0,25}\hfill & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}\right)}^2\end{array}$ d'où avec les termes arrondis au millième près, $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,484}& \mathrm{0,516}\end{array}\right)$

      L'état de la société en janvier 2010 est $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,484}& \mathrm{0,516}\end{array}\right)$.

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3. Dans cette partie on étudie la suite $\left(a_n\right)$.

   1. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,55}{a}_n+\mathrm{0,25}$ .

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{P}_{n+1}=P_n\times M& \text{Soit}& \left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\hfill & \mathrm{0,2}\hfill \\ \mathrm{0,25}\hfill & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}\right)\hfill \\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}{a}_n+\mathrm{0,25}{b}_n& \mathrm{0,2}{a}_n+\mathrm{0,75}{b}_n\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      Or pour tout entier naturel n, $a_n+b_n=1\iff a_n=1-b_n$ D'où $$\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}=\mathrm{0,8}{a}_n+\mathrm{0,25}\left(1-a_n\right)& \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,8}{a}_n+\mathrm{0,25}-\mathrm{0,25}{a}_n\hfill \\ & \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,55}{a}_n+\mathrm{0,25}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,55}{a}_n+\mathrm{0,25}$.

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   2. On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $U_n={\displaystyle \frac{5}{9}}-a_n$ .
      Démontrer que la suite $\left(U_n\right)$ est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{U}_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{9}}-a_{n+1}& \iff & U_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{9}}-\left(\mathrm{0,55}{a}_n+\mathrm{0,25}\right)\hfill \\ & \iff & U_{n+1}={\displaystyle \frac{11}{36}}-\mathrm{0,55}{a}_n\hfill \\ & \iff & U_{n+1}=\mathrm{0,55}\left({\displaystyle \frac{5}{9}}-a_n\right)\hfill \\ & \iff & U_{n+1}=\mathrm{0,55}{U}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,55}{U}_n$ donc $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,55.

      $$\begin{array}{ccc}{U}_0={\displaystyle \frac{5}{9}}-a_0& \text{Soit}& U_0={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{32}{100}}={\displaystyle \frac{53}{225}}\hfill \end{array}$$

      $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,55 et de premier terme $U_0={\displaystyle \frac{53}{225}}$.

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   3. En déduire l'expression de $U_n$ puis de $a_n$ en fonction de n.

      $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,55 et de premier terme $U_0={\displaystyle \frac{53}{225}}$ alors, pour tout entier naturel n, $$U_n={\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n$$

      Or $U_n={\displaystyle \frac{5}{9}}-a_n$ d'où pour tout entier naturel n, $$a_n={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n$$

      Ainsi, $\left(a_n\right)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $a_n={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n$

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4. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état probabiliste stable.

   1. Déterminer x et y.

      • méthode 1 :

        $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,55}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n={\displaystyle \frac{5}{9}}$. Donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{5}{9}}$.

        Or l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ est tel que $x=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$ et $x+y=1$ soit $x={\displaystyle \frac{5}{9}}$ et $y={\displaystyle \frac{4}{9}}$

        L'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}\right)$

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      • méthode 2 :

        Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $P=PM$ et $x+y=1$. Soit $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,8}\hfill & \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)& \text{et}& x+y=1\end{array}$$

        D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,25}y\\ y& =& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,75}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,25}y& =& 0\\ -\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,25}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,25}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,45}x& =& \mathrm{0,25}\\ x+y& =& 1\end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}x& =& {\displaystyle \frac{5}{9}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}\hfill \end{array}$$

        Ainsi, l'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}\right)$.

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   2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      On suppose que l'utilisation du logiciel Aurora dans l'entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60 % des informaticiens de l'entreprise ?

      L'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}\right)$ c'est à dire qu'à long terme, ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ soit environ 55,55% des informaticiens utiliseront le logiciel Aurora. Pour déterminer si le logiciel a été utilisé par plus de 60% des informaticiens, nous devons étudier le comportement de la suite $\left(a_n\right)$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}-a_n=-{\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^{n+1}+{\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n& \iff & a_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{53}{225}}\times {\mathrm{0,55}}^n\times \left(1-\mathrm{0,55}\right)\hfill \\ & \iff & a_{n+1}-a_n=\mathrm{0,106}\times {\mathrm{0,55}}^n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,55}}^n>0$. D'où $\mathrm{0,106}\times {\mathrm{0,55}}^n>0$.

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}-a_n>0$. Donc la suite $\left(a_n\right)$ est strictement croissante.

      La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et converge vers ${\displaystyle \frac{5}{9}}$. Donc pour tout entier naturel n, $$a_n<{\displaystyle \frac{5}{9}}$$

      Le pourcentage d'informaticiens qui utilisent le logiciel Aurora ne pourra pas atteindre 60%.

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