sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Calculer, en pourcentage, l'augmentation du nombre de domaines en « .fr » entre juin 2001 et juin 2002, arrondi à 1 %.

   $${\displaystyle \frac{\mathrm{128,927}-\mathrm{105,045}}{\mathrm{105,045}}}\times 100\approx \mathrm{22,7}$$

   Entre juin 2001 et juin 2002, le nombre de domaines en « .fr » a augmenté d'environ 23%.

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2. 1. Expliquer pourquoi un ajustement affine de y en x ne semble pas justifié.

      rappel :

      f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels $x_1$ et $x_2$ distincts :$${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}=a$$

      Accroissement ${\Delta }_i$ en milliers, du nombre de domaines en « .fr »

      Rang $x_i$ de l'année	1	2	3	4	5	6	7	8
      Accroissement ${\Delta }_i$		23,882	14,814	80,711	120,013	119,264	347,945	313,487

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      D'une année sur l'autre, l'accroissement du nombre de domaines en « .fr » augmente sensiblement. Donc un ajustement affine n'est pas adapté.

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      On cherche alors un ajustement exponentiel

   2. Pour tout $1⩽i⩽8$, on pose $z_i=\ln y_i$.
      Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de $z_i$ arrondies au centième :

      Rang $x_i$ de l'année $1⩽i⩽8$	1	2	3	4	5	6	7	8
      $z_i=\ln y_i$ $1⩽i⩽8$	4,65	4,86	4,97	5,41	5,84	6,14	6,7	7,03

   3. À l'aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d'ajustement de z  en x  par la méthode des moindres carrés sous la forme $z=ax+b$ (les coefficients seront arrondis au centième).

      Une équation de la droite d d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,35}x+\mathrm{4,10}$ (coefficients arrondis au centième)

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   4. En déduire que $y=\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}$ où les coefficients sont arrondis au centième, est une ajustement exponentiel possible.

      Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x+\mathrm{4,1}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,1}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}\end{array}$$

      Or l'arrondi au centième de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{4,1}}$ est 60,34.

      Une estimation du nombre y de domaines en « .fr » en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}$.

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3. 1. En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en « .fr » en juin 2009 ? (le résultat sera arrondi au millier).

      Le rang de juin 2009 est 9 et $$\mathrm{60,34}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}\times 9}\approx 1408$$

      Avec cet ajustement, le nombre estimé de domaines en « .fr » en juin 2009 est 1408.

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   2. Si l'erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à 1 %, on considère que le modèle est pertinent.
      En réalité, le relevé de juin 2009 de l'AFNIC indiquait 1 412 652 domaines en «.fr ». Le modèle proposé est-il pertinent ?

      $$1-{\displaystyle \frac{1408}{\mathrm{1412,652}}}\approx \mathrm{0,003}$$

      Avec ce modèle, l'erreur commise est d'environ 0,3%. À court terme, ce modèle est pertinent.

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4. 1. Résoudre dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ l'inéquation $\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}⩾\mathrm{10\; 000}$ (le résultat sera arrondi au dixième).

      $$\begin{array}{cccc}\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}⩾\mathrm{10\; 000}& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}⩾{\displaystyle \frac{10000}{\mathrm{60,34}}}\hfill & \\ & \iff & \mathrm{0,35}x⩾\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{\mathrm{60,34}}}\right)\hfill & \text{la fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{\mathrm{60,34}}}\right)}{\mathrm{0,35}}}\approx \mathrm{14,6}\hfill & \end{array}$$

      L'ensemble solution de l'inéquation $\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}x}⩾\mathrm{10\; 000}$ est $S=\left[{\displaystyle \frac{4\ln 10-\ln \mathrm{60,34}}{\mathrm{0,35}}};+\infty \right[$. Soit en considérant l'arrondi au dixième de la borne inférieure $S=\left]\mathrm{14,6};+\infty \right[$.

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   2. En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d, à partir du mois de juin de quelle année le nombre de « domaines en .fr » dépassera 10 millions.

      Le rang à partir duquel le nombre de « domaines en .fr » dépassera 10 millions est le plus petit entier n tel que $\mathrm{60,34}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,35}n}⩾\mathrm{10\; 000}$. Soit $n=15$.

      Avec ce modèle, à partir du mois de juin 2015 le nombre de « domaines en .fr » dépassera 10 millions.

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