sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\left(x\right)=-x^2-x+4+\ln \left(x+1\right)$.
On note C sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-2x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

   ---

2. Justifier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   Pour tout réel $x\ne -1$, $$\begin{array}{ccc}-2x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}& =& {\displaystyle \frac{\left(-2x-1\right)\left(x+1\right)+1}{x+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2-2x-x-1+1}{x+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2-3x}{x+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-x\left(2x+3\right)}{x+1}}\hfill \end{array}$$

   Par conséquent, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x\left(2x+3\right)}{x+1}}$.
   Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	0		4
   Signe de $f\prime \left(x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f

3. Montrer que sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution α.
   Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   $f\left(0\right)=4+\ln \left(1\right)=4$ et $f\left(4\right)=-16-4+4+\ln \left(5\right)=-16+\ln \left(5\right)\approx -\mathrm{14,39}$

   Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(4\right)<0<f\left(0\right)$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   à l'aide de la calculatrice on trouve $\mathrm{1,79}<\alpha <\mathrm{1,8}$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\mathrm{1,79}<\alpha <\mathrm{1,8}$.

   ---

   La fonction f est strictement décroissante donc si $0⩽x⩽\alpha$ alors $f\left(x\right)⩾f\left(\alpha \right)$ soit $f\left(x\right)⩾0$. D'où le tableau établissant le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x

   x	0		α		4
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

4. On définit la fonction F dérivable sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par : $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x+\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$.
   Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ signifie, que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Calculons la dérivée de la fonction F :$$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 3x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2x+3+\left(1\times \ln \left(x+1\right)+\left(x+1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x+1}}\right)\hfill \\ & =& -x^2-x+3+\ln \left(x+1\right)+1\hfill \\ & =& -x^2-x+4+\ln \left(x+1\right)\hfill \end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

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5. Soit A l'aire, en unités d'aire, du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

   1. Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe.

   2. Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A.

      L'aire du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est comprise entre l'aire du trapèze OABD et l'aire du rectangle OACD

      Graphiquement, $3<A<4$

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   3. Calculer la valeur exacte en unités d'aire de A. Vérifier la cohérence de vos résultats.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $f\left(x\right)>0$. Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x+\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)\right]}_0^1\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+3+2\ln \left(2\right)-\ln \left(1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{13}{6}}+2\ln \left(2\right)\approx \mathrm{3,55}\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à $\left({\displaystyle \frac{13}{6}}+2\ln 2\right)$ unités d'aire.

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