sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\left(x\right)=-x^2-x+4+\ln \left(x+1\right)$.
On note C sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Justifier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

3. Montrer que sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution α.
   Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

4. On définit la fonction F dérivable sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par : $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x+\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$.
   Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ signifie, que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

5. Soit A l'aire, en unités d'aire, du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

   1. Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe.

   2. Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A.

   3. Calculer la valeur exacte en unités d'aire de A. Vérifier la cohérence de vos résultats.

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