Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'ensemble $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ . On note $(C_{f})$ la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty; 1 [$ et $] 1; + \infty [$ et on note $f'$ la fonction dérivée de f.
Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 6]$ .
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :

x	$- \infty$			1			6		$+ \infty$
f	2		$- \infty$		$+ \infty$		3		$+ \infty$

Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
vraie ou fausse ou les informations données ne permettent pas de conclure
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point . Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

L'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ .
f est dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty; 1 [$ et $] 1; + \infty [$ donc continue sur chacun de ces deux intervalles.
- Sur l'intervalle $] - \infty; 1 [$ , f est continue strictement décroissante et $f (x) \in] - \infty; 2 [$ . Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
  l'équation $f (x) = 0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $] - \infty; 1 [$ .
- Sur l'intervalle $] 1; + \infty [$ , le minimum de la fonction est 3. Alors pour tout réel $x > 1$ , $f (x) > 3$ . Donc l'équation $f (x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $] 1; + \infty [$ .
Ainsi, la proposition 1 : « L'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ » est vraie.
La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $(C_{f})$ .
- $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$ alors la droite d'équation $y = 2$ est asymptote à la courbe $(C_{f})$ en $- \infty$
- $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ alors, la droite d'équation $y = 1$ n'est pas asymptote à la courbe $(C_{f})$ en $+ \infty$
Ainsi, la proposition 2 : « La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $(C_{f})$ » est fausse.
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] 1; + \infty [$ , $f' (x) ⩾ 0$ .
Sur l'intervalle $] 1; + \infty [$ la fonction f n'est pas monotone, donc sur cet intervalle sa dérivée n'est pas de signe constant.
Ainsi, la proposition 3 : « Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] 1; + \infty [$ , $f' (x) ⩾ 0$ » est fausse.
La fonction F est décroissante sur l'intervalle $] 0; 6]$ .
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 6]$ , signifie que pour tout réel x appartenant à $] 0; 6]$ , $F' (x) = f (x)$ . Or sur cet intervalle, f est positive donc F est croissante.
Ainsi, la proposition 4 : « La fonction F est décroissante sur l'intervalle $] 0; 6]$ » est fausse.
$\ln [f (x)]$ existe pour tout x appartenant à $] - \infty; 0 [$ .
La fonction $x ⟼ \ln [f (x)]$ est définie pour tout réel x tel que $f (x) > 0$ . Or d'après la première question, nous pouvons déduire que $f (x) > 0$ sur l'intervalle $] - \infty; α [$ avec $α \in] - \infty; 1 [$ . Mais les données de l'énoncé, ne permettent pas de savoir si $α ⩽ 0$
Pour la proposition 5 : « $\ln [f (x)]$ existe pour tout x appartenant à $] - \infty; 0 [$ », les informations données ne permettent pas de conclure.
Soit g la fonction définie sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ par $g (x) = e^{f (x)}$ .
1. $g (6) = e^{3}$
  $g (6) = e^{f (6)} = e^{3}$
  Ainsi, la proposition 6 : « $g (6) = e^{3}$ » est vraie.
2. $\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x < 1 \end{matrix}} g (x) = + \infty$ .
  $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ et $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ donc par composition des limites, $\lim_{x \to 1^{-}} e^{f (x)} = 0$
  Ainsi, la proposition 7 : « $\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x < 1 \end{matrix}} g (x) = + \infty$ » est fausse.
3. $g' (3) ⩾ 0$ .
  La fonction exponentielle étant strictement croissante, les fonctions f et g ont les mêmes variations. Par conséquent, g est décroissante sur l'intervalle $] 0; 6]$ d'où $g' (3) ⩽ 0$
  Ainsi, la proposition 8 : « $g' (3) ⩾ 0$ » est fausse.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.