Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

L'objet de l'exercice consiste à étudier les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs (pacte civil de solidarité) signés entre partenaires de sexe opposé en France à partir de l'année 2000.

partie a : Étude du nombre de mariages

Le tableau suivant donne le nombre de mariages en France, en milliers, de 2000 à 2008.

Source : INSEE
Année 200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année xi012345678
Nombre de mariages yi en milliers305296286283278283274274265

Pour i entier variant entre 0 et 8, on a représenté en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points Mi(xi;yi) associé à cette série.

    1. Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

      Une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : y=-4,17x+299,33 (coefficients arrondis arrondis au centième).


    2. Représenter D dans le repère de l'annexe 1.

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. En utilisant cet ajustement affine, déterminer par la méthode de votre choix une estimation du nombre de mariages en France en 2012 (le résultat sera arrondi au millier).

    Le rang de l'année 2012 est 12, une estimation du nombre de mariages en France en 2012 est : -4,17×12+299,33=249,29

    En 2012, le nombre de mariages en France serait de 249 milliers.


partie b : Étude du nombre de pacs

Le tableau suivant donne le nombre de pacs signés entre partenaires de sexe opposé en France, en milliers, de 2000 à 2008.

Source : INSEE
Année 200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année xi012345678
Nombre de pacs Yi1615212633536496138
  1. Représenter dans le repère de l'annexe 1 le nuage points Ni(xi;Yi) associé à cette nouvelle série statistique.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. Pour i entier variant entre 0 et 8 on pose Zi=lnYi.
    Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant où Zi est arrondi au centième :

    xi012345678
    Zi2,772,713,043,263,53,974,164,564,93
  3. Une équation de la droite d'ajustement affine de Z en x par la méthode des moindres carrés est Z=0,29x+2,51 (les coefficients étant arrondis au centième).

    1. En utilisant la relation Z=lnY, justifier la relation : Y=12,30e0,29x.

      Pour tout réel Y>0 , Z=lnYY=expZ d'où Y=e0,29x+2,51Y=e2,51×e0,29x Or l'arrondi au centième de e2,51 est 12,30

      Ainsi, Y=12,30e0,29x.


    2. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de pacs signés en France entre personnes de sexe opposé en 2012 (arrondir au millier).

      12,30e0,29×12399,3

      Avec cet ajustement, en 2012 le nombre de pacs signés en France sera de 399 milliers.


partie c : Comparaison

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Si les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs signés entre personnes de sexe opposé en France se poursuivent selon les modèles décrits dans les parties A et B, estimer à partir de quelle année le nombre de pacs dépassera celui des mariages.

Selon les modèles décrits dans les parties A et B, le nombre de pacs dépassera celui des mariages pour x solution de l'inéquation 12,30e0,29x-4,17x+299,3312,30e0,29x+4,17x-299,330

Ne disposant pas de méthode pour résoudre algébriquement dans l'inéquation 12,30e0,29x+4,17x-299,330, nous pouvons calculer les estimations du nombre de milliers de mariages et du nombre de milliers de pacs pour les années 2009, 2010 et 2011.

Les résultats des différents calculs sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

Rang de l'année x9101112
Estimation du nombre de mariages y=-4,17x+299,33261,8257,63253,46249,29
Estimation du nombre de pacs signés Y=12,30e0,29x167,27223,54298,75399,25

C'est en 2011, que le nombre de pacs signés en France dépassera celui des mariages.


remarque

Une méthode plus rigoureuse consiste à étudier la fonction f définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=12,30e0,29x+4,17x-299,33

On montre que la fonction f est strictement croissante comme somme de deux fonctions croissantes (ou en calculant la dérivée et en étudiant son signe) .
Ensuite, le théorème de la valeur intermédiaire nous permet d'établir que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α appartenant à l'intervalle ]10;11[.
Ce qui permet de conclure que le plus petit entier n tel que f(n)>0 est 11.


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