sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction f définie sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ par $$f\left(x\right)=\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$$ de sorte que $f\left(x\right)$ représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année 2000 + x.
On admet que la fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée sur cet intervalle.

1. Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près).

2. Déterminer la limite de la fonction f  en $+\infty$ .

3. Étudier les variations de la fonction f  sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ puis dresser son tableau de variations.

4. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
   Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s).
   Si non, justifier la réponse.

   La fonction f est strictement décroissante …

5. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
   Si oui, justifier la réponse.
   Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

6. 1. Déterminer une primitive F de la fonction f  sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$.

   2. Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale I suivante :$$I={\displaystyle {\int }_{11}^{21}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   3. En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.

      La valeur moyenne M d'une fonction f définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est donnée par la formule $M={\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

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