Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une session du baccalauréat se compose de deux parties :

le premier groupe d'épreuves (encore appelé : « écrit » par abus de langage ou « premier tour ») ;
le second groupe d'épreuves (encore appelé : « oral de rattrapage » ou « second tour »).

Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.
Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du premier groupe d'épreuves sont les suivants :

74,3 % des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que $m ⩾ 10$ ) ;
17,8 % des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que $8 ⩽ m < 10$ ) ;
les autres candidats ont été recalés (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que $m < 8$ ).

Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1 %.
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010. On note :

$R_{1}$ l'évènement : « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du premier tour » ;
O l'évènement : « le candidat interrogé est allé à l'oral de rattrapage » ;
$E_{1}$ l'évènement : « le candidat interrogé a été recalé à l'issue du premier tour » ;
$R_{2}$ l'évènement : « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue de l'oral de rattrapage » ;
$E_{2}$ l'évènement : « le candidat interrogé a été recalé à l'issue de l'oral de rattrapage ».

On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-dessous, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :

Si X est un évènement, on note $p (X)$ sa probabilité.

Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.

Donner les valeurs des probabilités suivantes : $p (R_{1})$ ; $p (O)$ et $p (E_{1})$ .
- 74,3 % des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour donc $p (R_{1}) = 0,743$
- 17,8 % des candidats sont allés aux oraux de rattrapage donc $p (O) = 0,178$
- les autres candidats ont été recalés donc $p (E_{1}) = 1 - (p (R_{1}) + p (O))$ Soit $p (E_{1}) = 0,079$
On appelle A l'évènement : « le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat » : on a donc $p (A) = 0,861$ . Montrer que $p (O \cap R_{2}) = 0,118$ et interpréter ce résultat.
Il y deux façons d'interpréter la question :
- réponse 1
  On raisonne à partir des taux de réussite et on interprète le résultat en terme de probabilités :
  Le taux de réussite au baccalauréat ES est de 86,1 % et 74,3% des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour donc le pourcentage des candidats ayant été reçus à l'issue du second groupe d'épeuves est : $0,861 - 0,743 = 0,118$ Soit 11,8% des candidats ont été reçus à l'issue du second tour.
  Ainsi, $p (O \cap R_{2}) = 0,118$ . C'est à dire que la probabilité que le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du second groupe d'épreuves est égale à 0,118.
- réponse 2
  On raisonne à partir des probabilités et on interprète le résultat en terme de pourcentage :
  Les candidats qui ont obtenus leur baccalauréat sont les candidats qui l'ont obtenu à l'issue du tour ou à l'issue du second groupe. D'où $p (A) = p (R_{1}) + p (O \cap R_{2})$
  Donc $\begin{matrix} p (O \cap R_{2}) = p (A) - p (R_{1}) & Soit & p (O \cap R_{2}) = 0,861 - 0,743 = 0,118 \end{matrix}$
  Ainsi, $p (O \cap R_{2}) = 0,118$ . C'est à dire que 11,8 % des candidats ont obtenu le baccalauréat à l'issue du second groupe d'épreuves.
Calculer $p_{O} (R_{2})$ , probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que l'évènement O est réalisé. Interpréter ce résultat.
$\begin{matrix} p_{O} (R_{2}) = \frac{p (O \cap R_{2})}{p (O)} & Soit & p_{O} (R_{2}) = \frac{0,118}{0,178} = \frac{59}{89} \approx 0,663 \end{matrix}$
Ainsi, $p_{O} (R_{2}) = \frac{59}{89}$ . C'est à dire que : 66,3 % des candidats qui sont allés aux oraux de rattrapage ont obtenu le baccalauréat à l'issue du second tour.
Recopier et compléter l'arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus.
On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour considérer ces trois réponses comme indépendantes.
1. Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis.
  Interroger au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu est la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de candidats ayant obtenu le baccalauréat ES est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,861.
  D'où la probabilité p que les trois candidats aient été admis $p = {0,861}^{3} \approx 0,638$
  Arrondie au millième, la probabilité que les trois candidats aient été admis est 0,638.
2. Calculer la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis.
  L'évènement E « au moins deux des candidats ont été admis » est constitué des évènements « les trois candidats ont été admis » ou « deux candidats exactement ont été admis ».
  Or trois issues notées $A A \bar{A}$ , $A \bar{A} A$ et $\bar{A} A A$ correspondent à l'évènement D « deux candidats exactement ont été admis » D'où $p (D) = 3 \times {0,861}^{2} \times (1 - 0,861)$
  La probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis est donc $p (E) = {0,861}^{3} + 3 \times {0,861}^{2} \times 0,139 \approx 0,947$
  Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis est 0,947.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.