sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'ensemble $\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$. On note $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère  orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;1\right[$ et $\left]1;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ la fonction dérivée de f.
Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;6\right]$.
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :

x	$-\infty$			1			6		$+\infty$
f	2		$-\infty$		$+\infty$		3		$+\infty$

Pour chacune des huit affirmations  ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
vraie ou fausse ou les informations données ne permettent pas de conclure
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

1. L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution sur $\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$.

2. La droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe $\left(C_f\right)$.

   Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$), on dit alors, que la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ ).

3. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩾0$.

   La fonction f est elle monotone sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ ?

4. La fonction F est décroissante sur l'intervalle $\left]0;6\right]$.

   Sur l'intervalle $\left]0;6\right]$ les variations de F se déduisent du signe de f.

5. $\ln \left[f\left(x\right)\right]$ existe pour tout x appartenant à $\left]-\infty ;0\right[$.

   $\ln \left[f\left(x\right)\right]$ existe pour tout x tel que $f\left(x\right)>0$

6. Soit g la fonction définie sur $\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$.

   1. $g\left(6\right)={\mathrm{e}}^3$

   2. $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$.

   3. $g\prime \left(3\right)⩾0$.

      Les fonctions f et g ont les mêmes variations.

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