sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction f définie sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ par $$f\left(x\right)=\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$$ de sorte que $f\left(x\right)$ représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année 2000 + x.
On admet que la fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée sur cet intervalle.

1. Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près).

   $$f\left(11\right)=\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}\times 11}\approx \mathrm{13\; 270,6}$$

   Arrondie au au billion près on estime qu'en 2011 on découvrira 13 271 billions de barils.

   ---

2. Déterminer la limite de la fonction f  en $+\infty$ .

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,024}x=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc par composition des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}=0$ D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}=0$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

   ---

3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ puis dresser son tableau de variations.

   • méthode 1 :

     Par application du théorème sur les variations des fonctions composées :

     La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $ℝ$, la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$ a les mêmes variations que la fonction affine $x⟼-\mathrm{0,024}x$ qui est strictement décroissante.

     Par conséquent, la fonction f définie sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$ est strictement décroissante.

   • méthode 2 :

     Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

     Pour tout réel $x⩾11$, $$f\prime \left(x\right)=\mathrm{17\; 280}\times \left(-\mathrm{0,024}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}=-\mathrm{414,72}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$$

     Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}>0$. Donc sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)<0$

     Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante.

   Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f

   x	11		$+\infty$
   $f\left(x\right)$	$f\left(11\right)$		0

4. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts ? Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Si non, justifier la réponse.

   La fonction f est strictement décroissante par conséquent, pour tout réel $x⩾11$, $f\left(x\right)⩽f\left(11\right)$. Soit pour tout réel $x⩾11$, $f\left(x\right)<\mathrm{13\; 271}$

   Selon ce modèle, on ne peut pas envisager qu'au cours d'une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts.

   ---

5. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ? Si oui, justifier la réponse. Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ par conséquent, il possible de rendre $f\left(x\right)$ aussi proche que l'on veut de 0 pourvu que x soit suffisamment grand.

   Donc d'après ce modèle, on ne peut pas envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts.

   Le rang x de l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{ccc}17280{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}<6000& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}<{\displaystyle \frac{6000}{17280}}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,024}x<\ln \left({\displaystyle \frac{25}{72}}\right)\hfill \\ & \iff & x>-{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{25}{72}}\right)}{\mathrm{0,024}}}\hfill \end{array}$$

   Or $-{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{25}{72}}\right)}{\mathrm{0,024}}}\approx \mathrm{44,07}$. Donc le plus petit x$17280{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}<6000$ est 45.

   Selon ce modèle, on considère qu'à partir de 2045, moins 6 000 billions de barils de pétrole seront découverts chaque année.

   ---

6. 1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$.

      $$f\left(x\right)=\mathrm{17\; 280}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}=-{\displaystyle \frac{17280}{\mathrm{0,024}}}\times \left(-\mathrm{0,024}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}\right)=-\mathrm{720\; 000}\times \left(-\mathrm{0,024}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}\right)$$

      Une primitive F de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[11;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-\mathrm{720\; 000}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}$.

      ---

   2. Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale I suivante :$I={\displaystyle {\int }_{11}^{21}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{11}^{21}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-\mathrm{720\; 000}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}x}\right]}_{11}^{21}}\hfill \\ & =& -\mathrm{720\; 000}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}\times 21}+\mathrm{720\; 000}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,024}\times 11}\hfill \\ & =& \mathrm{720\; 000}\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,264}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,504}}\right)\hfill \\ & \approx & 117982\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle I={\int }_{11}^{21}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{720\; 000}\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,264}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,504}}\right)$ Soit arrondie à l'unité, $I\approx 117982$

      ---

   3. En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.

      La valeur moyenne M d'une fonction f définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est donnée par la formule $M={\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

      Donc le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021 est $$M={\displaystyle \frac{1}{21-11}}\times {\displaystyle {\int }_{11}^{21}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{72\; 000}\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,264}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,504}}\right)\approx 11798$$

      D'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021 on peut espérer découvrir en moyenne 11 798 billions de barils par an.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.