sujet : Pondichery

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. En utilisant les données et le graphique, préciser :

   1. La valeur du réel $f\left(0\right)$ et la valeur du réel $f\prime \left(0\right)$.

      Le point $A\left(0;3\right)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f\left(0\right)=3$

      ---

      Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;3\right)$. Or la droite T passe également par le point $B\left(1;5\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{5-3}{1-0}}=2\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime \left(0\right)=2$

      ---

   2. La limite de la fonction f en $+\infty$.

      La droite D d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$

      ---

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A .

   La tangente T a pour coefficient directeur 2 et coupe l'axe des ordonnées au point $A\left(0;3\right)$.

   Donc une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A est $y=2x+3$.

   ---

3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

   L'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est comprise entre l'aire du rectangle de dimensions 1 et 3 et l'aire du rectangle de dimensions 1 et 4.

   D'où un encadrement de l'aire A, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ : $3⩽A⩽4$

   ---

4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{ax+b}{{\mathrm{e}}^x}}$, où a et b sont des nombres réels.

   1. Déterminer l'expression de $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a, de b et de x.

      $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}}$. Avec pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=ax+b& \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      f est dérivable et pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=0+{\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)\times v\left(x\right)-u\left(x\right)\times v\prime \left(x\right)}{{\left(v\left(x\right)\right)}^2}}& \text{soit}& f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{a{\mathrm{e}}^x-\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}}={\displaystyle \frac{\left(-ax+a-b\right)}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(-ax+a-b\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$

      ---

   2. À l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l'on a, pour tout réel x $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{4x+2}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      $f\left(0\right)=3$ d'où $$1+{\displaystyle \frac{b}{{\mathrm{e}}^0}}=3\iff 1+b=3\iff b=2$$

      $f\prime \left(0\right)=2$ d'où $${\displaystyle \frac{a-b}{{\mathrm{e}}^0}}=2\iff a-b=2$$ Or $b=2$ donc $a=4$

      Ainsi, pour tout réel x $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{4x+2}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      ---

5. Soit F la fonction définie et dérivable sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{-4x-6}{{\mathrm{e}}^x}}$. On admet que F est une primitive de f sur $ℝ$.
   Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻² près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.
   Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3 ?

   Si f est une fonction continue et positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ alors, l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   D'après les questions précédentes, f est dérivable sur $ℝ$ donc continue sur $ℝ$.

   Étudions le signe de f sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-4x}{{\mathrm{e}}^x}}$. Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$

   Nous avons :
   $f\left(0\right)=3$. Donc sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$, $f\left(x\right)⩾3$
   $f\left(1\right)=1+{\displaystyle \frac{6}{\mathrm{e}}}$. Donc sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right]$, $f\left(x\right)⩾1+{\displaystyle \frac{6}{\mathrm{e}}}$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, f est une fonction continue et positive alors, l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(1\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& \left(1-{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{e}}}\right)-\left(-6\right)\hfill \\ & =& 7-{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

   L'aire de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à $\left(7-{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{e}}}\right)$ unités d'aire. Soit arrondie au centième près 3,32 unités d'aire.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.