sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.
Si x désigne la quantité journalière produite, on appelle $C_T\left(x\right)$, pour x variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant.
La courbe ${\Gamma }_1$ fournie en annexe 2 est la représentation graphique de la fonction $C_T$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$.
La tangente à ${\Gamma }_1$ au point $A\left(1;1\right)$ est horizontale.

partie a

1. 1. On admet que la recette $R\left(x\right)$ (en milliers d'euros) résultant de la vente de x centaines de litres de médicament, est définie sur $\left[\mathrm{0,25};5\right]$ par $R\left(x\right)=\mathrm{1,5}x$.
      Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus ?

      $R\left(2\right)=\mathrm{1,5}\times 2=3$

      La recette pour 200 litres de médicament vendus est de 3 000 €

      ---

   2. Tracer, sur le graphique fourni en annexe 2, le segment représentant graphiquement la fonction R.

      (Voir la courbe au format Pdf)

2. Lectures graphiques
   Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique en annexe 2.
   Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.

   1. Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité », c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.

      Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.

      Avec la précision permise par le dessin, la « plage de rentabilité » est obtenue pour une production comprise entre 65 et 450 litres

      ---

   2. Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés.

      Graphiquement, le montant en milliers d'euros du bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est la distance entre les points de la courbe représentative de la fonction recette et de la courbe représentative de la fonction coût de même abscisse 2.

      Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est de 1750 euros.

      ---

   3. Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ?
      À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ?

      Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale.

      La recette $R\left(x\right)$ (en milliers d'euros) résultant de la vente de x centaines de litres de médicament, est définie par $R\left(x\right)=\mathrm{1,5}x$. La recette marginale 1,5 correspond à un prix de vente de 15 euros le litre.

      Pour maximiser son profit, le laboratoire compare le prix de vente au coût marginal. Sur la « plage de rentabilité », tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, le laboratoire augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.

      Or, en un point de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$, le coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à cette courbe. Sur la « plage de rentabilité », le bénéfice est donc maximal en un point de la courbe $C_T$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette.

      Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice est maximal lorsque 275 litres de médicament sont commercialisés ce qui correspond à un bénéfice d'environ 2150 euros.

      ---

partie b

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total $C_T$ est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$ par : $$C_T\left(x\right)=x^2-2x\ln \left(x\right)$$

1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par :$$B\left(x\right)=\mathrm{1,5}x-x^2+2x\ln \left(x\right)$$ Calculer $B\left(2\right)$, et comparer au résultat obtenu à la question 2. b. de la partie A.

   Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$, le bénéfice, en milliers d'euros, est défini par $B\left(x\right)=R\left(x\right)-C_T\left(x\right)$. Soit $B\left(x\right)=\mathrm{1,5}x-x^2+2x\ln \left(x\right)$

   $B\left(2\right)=3-4+4\ln \left(2\right)=4\ln \left(2\right)-1\approx \mathrm{1,773}$

   Le bénéfice réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés est de 1773 euros. (Le résultat obtenu est du même ordre de grandeur que celui obtenu graphiquement)

   ---

2. On suppose que la fonction B est dérivable sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$ et on note $B\prime$ sa fonction dérivée. Montrer que $B\prime \left(x\right)=2\ln \left(x\right)-2x+\mathrm{3,5}$.

   La fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)$ est de la forme $u\times v$. Sa dérivée est de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

   D'où $$B\prime \left(x\right)=\mathrm{1,5}-2x+\left(2\ln \left(x\right)+2x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=2\ln \left(x\right)-2x+\mathrm{3,5}$$

   $B\prime$ est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$ par $B\prime \left(x\right)=2\ln \left(x\right)-2x+\mathrm{3,5}$.

   ---

3. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $B\prime$, dérivée de la fonction B, sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$ :

   x	0,25		1		5
   $B\prime \left(x\right)$	$y_1$		1,5		$y_2$

   On précise les encadrements : $\mathrm{0,22}<y_1<\mathrm{0,23}$ et $-\mathrm{3,29}<y_2<-\mathrm{3,28}$.

   1. Démontrer que l'équation $B\prime \left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};1\right]$ la fonction $B\prime$ est croissante, donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};1\right]$, $B\prime \left(x\right)⩾y_1$. Soit $B\prime \left(x\right)>0$ sur $\left[\mathrm{0,25};1\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[1;5\right]$, la fonction $B\prime$ est continue, strictement décroissante, et $y_2<0<\mathrm{1,5}$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.
        l'équation $B\prime \left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[1;5\right]$

      Ainsi, l'équation $B\prime \left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$.

      ---

      Pour la suite de l'exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de α.

   2. Dresser le tableau précisant le signe de $B\prime \left(x\right)$ pour x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$.
      En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,25};5\right]$.

      D'après l'étude de la question précédente, $$\begin{array}{ccc}B\prime \left(x\right)<0& \iff & \alpha <x⩽5\end{array}$$

      Les variations de B se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0,25		$\alpha \approx \mathrm{2,77}$		5
      $B\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $B\left(x\right)$

4. 1. Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.

      D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction B est atteint pour $x=\alpha$. $$B\left(\mathrm{2,77}\right)=\mathrm{1,5}\times \mathrm{2,77}-{\mathrm{2,77}}^2+\mathrm{5,54}\ln \left(\mathrm{2,77}\right)\approx \mathrm{2,127}$$

      Le bénéfice est maximal lorsque 277 litres de médicament sont commercialisés ce qui correspond à un bénéfice d'environ 2127 euros.

      ---

   2. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A ?

      Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2. c. de la partie A

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.