sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$. On note $f\prime$la fonction dérivée de f .

• La tangente T à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;3\right)$ passe par le point $B\left(1;5\right)$.
• La droite D d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$.

1. En utilisant les données et le graphique, préciser :

   1. La valeur du réel $f\left(0\right)$ et la valeur du réel $f\prime \left(0\right)$.

   2. La limite de la fonction f en $+\infty$.

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A .

3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{ax+b}{{\mathrm{e}}^x}}$, où a et b sont des nombres réels.

   1. Déterminer l'expression de $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a, de b et de x.

   2. À l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l'on a, pour tout réel x $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{4x+2}{{\mathrm{e}}^x}}$.

5. Soit F la fonction définie et dérivable sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{-4x-6}{{\mathrm{e}}^x}}$. On admet que F est une primitive de f sur $ℝ$.

   Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻² près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.
   Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3 ?

   Si f est une fonction continue et positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ alors, l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

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