sujet : Asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.

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1. Le prix d'un article a augmenté de 20 % puis a baissé de 20 %. Ce prix :

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution est $$\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,96}$$ ce qui correspond à une baisse de 4%.

   a baissé de 2 %

   a augmenté de 4 %

   n'a pas bougé

   a baissé de 4 %

2. La fonction dérivée de la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\left(\ln x+3\right)$ est la fonction $f\prime$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

   La fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\left(\ln x+3\right)$ est dérivable comme produit de deux fonctions. $f=u\times v$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)=\ln x+3\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$$

   D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 2x\left(\ln x+3\right)+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& 2x\left(\ln x+3\right)+x\hfill \\ & =& x\left(2\ln x+7\right)\hfill \end{array}$$

   $f\prime \left(x\right)=2x\ln x+7$

   $f\prime \left(x\right)=2x\ln x+5x$

   $f\prime \left(x\right)=x\left(2\ln x+7\right)$

   $f\prime \left(x\right)=2x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x-1⩽0$ est :

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}\ln x-1⩽0& \iff & \ln x⩽1\hfill \\ & \iff & x⩽\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

   $\left]-\infty ;1\right]$

   $\left]-\infty ;\mathrm{e}\right]$

   $\left]0;\mathrm{e}\right]$

   $\left]0;+\infty \right[$

4. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
   La fonction F est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction F est tracée dans le repère ci-dessous :

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à :

   F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ donc $${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(3\right)-F\left(2\right)$$ Or $F\left(2\right)=0$ et $F\left(3\right)>3$ donc ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>3$. La proposition d est la seule qui puisse convenir.

   ${\displaystyle \frac{\ln 3}{3}}$

   $\ln 3$

   $-\ln 3$

   $3\ln 3$

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