sujet : Asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité q en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :

• Le coût marginal $C_m\left(q\right)$ est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de q tonnes.
• Le bénéfice marginal $B_m\left(q\right)$ est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal $C_m\left(q\right)$.

partie a : aspect graphique

Dans le repère suivant, on donne :

• la courbe représentative ${\Gamma }_m$ de la fonction $C_m$ correspondant au coût marginal en milliers d'euros ;
• la courbe représentative D de la fonction U correspondant au prix de vente unitaire en milliers d'euros ;
• Le point $A\left(a;C_m\left(a\right)\right)$, sommet de la courbe ${\Gamma }_m$.

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

1. Déterminer graphiquement $C_m\left(4\right)$.

2. Déterminer graphiquement $B_m\left(4\right)$.
   Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

3. Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
   (les valeurs seront données à la demi-tonne près).

4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.

partie b : aspect algébrique

Dans cette partie, le coût marginal est donné par $C_m\left(q\right)=\mathrm{0,5}q+\left(4-q\right){\mathrm{e}}^{\left(1-\mathrm{0,25}q\right)}$ pour q appartenant à l'intervalle $\left[0;20\right]$ et le prix de vente unitaire est donné par $U\left(q\right)=7$ pour q appartenant à l'intervalle $\left[0;20\right]$. On admet que la fonction $C_m$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0;20\right]$.
Le tableau de variation de la fonction $C_m$ est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel a est compris entre 5 et 6.

q	0		a		20
$C_m\prime \left(q\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
$C_m\left(q\right)$	$C_m\left(0\right)$		$C_m\left(a\right)$		$C_m\left(20\right)$

1. 1. Justifier que l'équation $C_m\left(q\right)=7$ admet une unique solution $q_0$ dans l'intervalle $\left[10;20\right]$.

      théorème de la valeur intermédiaire

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   2. À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de $q_0$ au dixième.

   3. Donner, en justifiant, la valeur de $B_m\left(q_0\right)$.
      Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?

2. Vérifier que la fonction C, définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par : $C\left(q\right)=10+\mathrm{0,25}{q}^2+4q{\mathrm{e}}^{\left(1-\mathrm{0,25}q\right)}$ est une primitive de la fonction $C_m$. Cette fonction C est la fonction coût total.

3. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.

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