Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité q en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :

partie a : aspect graphique

Dans le repère suivant, on donne :

Courbe représentative de la fonction Cm: l'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

  1. Déterminer graphiquement Cm4.

  2. Déterminer graphiquement Bm4.
    Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

  3. Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
    (les valeurs seront données à la demi-tonne près).

  4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.

partie b : aspect algébrique

Dans cette partie, le coût marginal est donné par Cmq=0,5q+4-qe1-0,25q pour q appartenant à l'intervalle 020 et le prix de vente unitaire est donné par Uq=7 pour q appartenant à l'intervalle 020. On admet que la fonction Cm est dérivable sur l'intervalle 020.
Le tableau de variation de la fonction Cm est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel a est compris entre 5 et 6.

q 0   a   20
Cmq   + 0||  
Cmq

Cm0

fonction décroissante

Cma

fonction croissante

Cm20

    1. Justifier que l'équation Cmq=7 admet une unique solution q0 dans l'intervalle 1020.

      théorème de la valeur intermédiaire

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

    2. À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de q0 au dixième.

    3. Donner, en justifiant, la valeur de Bmq0.
      Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?

  1. Vérifier que la fonction C, définie sur l'intervalle 020 par : Cq=10+0,25q2+4qe1-0,25q est une primitive de la fonction Cm. Cette fonction C est la fonction coût total.

  2. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.


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✉ A.Yallouz

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