Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité q en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :

  • Le coût marginal Cmq est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de q tonnes.
  • Le bénéfice marginal Bmq est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal Cmq.

partie a : aspect graphique

Dans le repère suivant, on donne :

  • la courbe représentative Γm de la fonction Cm correspondant au coût marginal en milliers d'euros ;
  • la courbe représentative D de la fonction U correspondant au prix de vente unitaire en milliers d'euros ;
  • Le point AaCma, sommet de la courbe Γm.
Courbe représentative de la fonction Cm: l'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

  1. Déterminer graphiquement Cm4.

    La courbe Γm représentative de la fonction Cm passe par le point de coordonnées 42 donc Cm4=2


  2. Déterminer graphiquement Bm4.
    Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

    Le prix de vente unitaire est de 7 milliers d'euros donc Bm4=7-2=5

    Le bénéfice marginal Bm4=5 donc l'entreprise augmentera son profit de 5000 euros en produisant une tonne supplémentaire.


  3. Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
    (les valeurs seront données à la demi-tonne près).

    Graphiquement, le bénéfice marginal est nul pour les quantités q, en tonnes, abscisses des points d'intersection de la droite D avec la courbe Γm soit q11 et q215,5


  4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.

    Graphiquement, le bénéfice marginal est positif sur l'intervalle où la courbe Γm est en dessous de la droite D.

    Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice marginal est positif sur l'intervalle 115.


remarque :

L'entreprise qui souhaite maximiser son profit compare le coût marginal au prix de vente. Tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage.

Pour toute production inférieure à une tonne l'entreprise perdra de l'argent et, le profit maximum est obtenu pour une production d'environ 15 tonnes.

partie b : aspect algébrique

Dans cette partie, le coût marginal est donné par Cmq=0,5q+4-qe1-0,25q pour q appartenant à l'intervalle 020 et le prix de vente unitaire est donné par Uq=7 pour q appartenant à l'intervalle 020. On admet que la fonction Cm est dérivable sur l'intervalle 020.
Le tableau de variation de la fonction Cm est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel a est compris entre 5 et 6.

q 0   a   20
Cmq   + 0||  
Cmq

Cm0

fonction décroissante

Cma

fonction croissante

Cm20

    1. Justifier que l'équation Cmq=7 admet une unique solution q0 dans l'intervalle 1020.

      Cm10=5-6e-1,53,67 et Cm20=10-16e-49,7.

      Sur l'intervalle 1020, la fonction Cm est continue, strictement croissante et Cm10<7<Cm20 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

      l'équation Cmq=7 admet une unique solution q0 dans l'intervalle 1020.


    2. À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de q0 au dixième.

      Sur la calculatrice, en choisissantt pour la fenêtre graphique Xmin = 10 ; Xmax = 20 on peut par exemple :

      • chercher l'intersection des courbes d'équation y1=0,5q+4-qe1-0,25q et y2=7 ;

      • chercher l'intersection de la courbe d'équation y1=0,5q+4-qe1-0,25q-7 avec l'axe des abscisses.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve q015,3


    3. Donner, en justifiant, la valeur de Bmq0. Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?

      Bmq0=7-Cmq0=0

      Bmq0=0 avec q015,3. q0 est l'abscisse d'un des points d'intersection de la droite D avec la courbe Γm.


  1. Vérifier que la fonction C, définie sur l'intervalle 020 par : Cq=10+0,25q2+4qe1-0,25q est une primitive de la fonction Cm. Cette fonction C est la fonction coût total.

    La fonction f, définie sur l'intervalle 020 par : fq=4qe1-0,25q est dérivable comme produit de fonctions dérivables. f=u×v d'où f=uv+uv avec pour tout réel q de l'intervalle 020 : uq=4q;uq=4 vq=e1-0,25q;vq=-0,25e1-0,25q

    D'où pour tout réel q de l'intervalle 020, on a : fq= 4e1-0,25q+4q×-0,25e1-0,25q =4-qe1-0,25q

    La fonction C, définie sur l'intervalle 020 par Cq=10+0,25q2+4qe1-0,25q est dérivable comme somme de fonctions dérivable et pour tout réel q de l'intervalle 020 :Cq=0,5q+4-qe1-0,25q

    Ainsi, pour tout réel q de l'intervalle 020 on a Cq=Cmq donc :

    la fonction C, définie sur l'intervalle 020 par Cq=10+0,25q2+4qe1-0,25q est une primitive de la fonction Cm


  2. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.

    La recette en milliers d'euros correspondant à une vente de q tonnes est : Rq=7q

    Le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de q tonnes de détergent est : Bq=Rq-CqSoit Bq=7q-10+0,25q2+4qe1-0,25q

    par conséquent, le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent est : B15,3=7×15,3-10-0,25×15,32-4×15,3×e1-0,25×15,334,948

    Le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent est d'environ 34 948 €.


    remarque :

    Le profit maximum de l'entreprise est obtenu pour une production de 15,3 tonnes. 34 948 € est le bénéfice maximum que peut réaliser cette entreprise.



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