On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité q en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :
Dans le repère suivant, on donne :
Répondre aux questions suivantes sans justifier :
Déterminer graphiquement .
La courbe représentative de la fonction passe par le point de coordonnées donc
Déterminer graphiquement .
Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.
Le prix de vente unitaire est de 7 milliers d'euros donc
Le bénéfice marginal donc l'entreprise augmentera son profit de 5000 euros en produisant une tonne supplémentaire.
Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
(les valeurs seront données à la demi-tonne près).
Graphiquement, le bénéfice marginal est nul pour les quantités q, en tonnes, abscisses des points d'intersection de la droite D avec la courbe soit et
En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.
Graphiquement, le bénéfice marginal est positif sur l'intervalle où la courbe est en dessous de la droite D.
Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice marginal est positif sur l'intervalle .
remarque :
L'entreprise qui souhaite maximiser son profit compare le coût marginal au prix de vente. Tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage.
Pour toute production inférieure à une tonne l'entreprise perdra de l'argent et, le profit maximum est obtenu pour une production d'environ 15 tonnes.
Dans cette partie, le coût marginal est donné par pour q appartenant à l'intervalle et le prix de vente unitaire est donné par pour q appartenant à l'intervalle . On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle .
Le tableau de variation de la fonction est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel a est compris entre 5 et 6.
q | 0 | a | 20 | ||
+ | − | ||||
Justifier que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
et .
Sur l'intervalle , la fonction est continue, strictement croissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de au dixième.
Sur la calculatrice, en choisissantt pour la fenêtre graphique Xmin = 10 ; Xmax = 20 on peut par exemple :
chercher l'intersection des courbes d'équation et ;
chercher l'intersection de la courbe d'équation avec l'axe des abscisses.
À l'aide de la calculatrice, on trouve
Donner, en justifiant, la valeur de . Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?
avec . est l'abscisse d'un des points d'intersection de la droite D avec la courbe .
Vérifier que la fonction C, définie sur l'intervalle par : est une primitive de la fonction . Cette fonction C est la fonction coût total.
La fonction f, définie sur l'intervalle par : est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel q de l'intervalle :
D'où pour tout réel q de l'intervalle , on a :
La fonction C, définie sur l'intervalle par est dérivable comme somme de fonctions dérivable et pour tout réel q de l'intervalle :
Ainsi, pour tout réel q de l'intervalle on a donc :
la fonction C, définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction
Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.
La recette en milliers d'euros correspondant à une vente de q tonnes est :
Le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de q tonnes de détergent est :
par conséquent, le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent est :
Le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent est d'environ 34 948 €.
remarque :
Le profit maximum de l'entreprise est obtenu pour une production de 15,3 tonnes. 34 948 € est le bénéfice maximum que peut réaliser cette entreprise.
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