sujet : Asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. En utilisant les données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p\left(F\right)$, de $p_F\left(G\right)$ et de $p_{\overline{F}}\left(G\right)$.

   • 58 % des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24 % ont également un accès 3G sur téléphone portable d'où :

     $p\left(F\right)=\mathrm{0,58}$, de $p_F\left(G\right)=\mathrm{0,24}$

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   • Parmi les abonnés qui n'ont pas d'accès internet sur ligne fixe, 13 % ont un accès 3G sur téléphone portable d'où $p_{\overline{F}}\left(G\right)=\mathrm{0,13}$

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2. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

   Arbre de probabilités traduisant la situation (complété avec la règle des nœuds) :

3. Calculer $p\left(F\cap \overline{G}\right)$. Interpréter ce résultat.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap \overline{G}\right)=p_F\left(\overline{G}\right)\times p\left(F\right)& \text{soit}& p\left(F\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,76}\times \mathrm{0,58}=\mathrm{0,4408}\end{array}$$

   $p\left(F\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,4408}$. Soit 44,08 % des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe et n'ont pas un accès 3G sur téléphone portable.

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4. 1. Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est de 0,8062.

      Les évènements F et G sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(\overline{G}\right)=p\left(F\cap \overline{G}\right)+p\left(\overline{F}\cap \overline{G}\right)$$

      Or : $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{F}\cap \overline{G}\right)=p_{\overline{F}}\left(\overline{G}\right)\times p\left(\overline{F}\right)& \text{soit}& p\left(\overline{F}\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,87}\times \mathrm{0,42}=\mathrm{0,3654}\end{array}$$

      D'où $$p\left(\overline{G}\right)=\mathrm{0,4408}+\mathrm{0,3654}=\mathrm{0,8062}$$

      La probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est égale à 0,8062.

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   2. Peut-on affirmer qu'au moins 25 % des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ?

      $$\begin{array}{ccc}p\left(G\right)=1-p\left(\overline{G}\right)& \text{soit}& p\left(G\right)=1-\mathrm{0,8062}=\mathrm{0,1938}\end{array}$$

      $p\left(G\right)=\mathrm{0,1938}$ donc moins de 20 % des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable.

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5. On prélève successivement les fiches de trois abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise.
   Calculer la probabilité qu'exactement une des fiches tirées soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable.

   On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont le succès est abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable.

   schéma de Bernoulli

   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,8062.

   Dans le schéma de Bernoulli, les chemins correspondants à l'évènement « exactement une des fiches tirées est celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable. » sont les chemins réalisant un succès et deux échecs. D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X=1\right)& =& \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\times \mathrm{0,8062}\times {\mathrm{0,1938}}^2\hfill \\ & =& 3\times \mathrm{0,8062}\times {\mathrm{0,1938}}^2\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,091}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'exactement un des abonnés n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est 0,091.

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