Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Asie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.

  1. Le prix d'un article a augmenté de 20 % puis a baissé de 20 %. Ce prix :

    • a baissé de 2 %
    • a augmenté de 4 %
    • n'a pas bougé
    • a baissé de 4 %
  2. La fonction dérivée de la fonction f définie sur 0+ par fx=x2lnx+3 est la fonction f définie sur 0+ par :

    • fx=2xlnx+7
    • fx=2xlnx+5x
    • fx=x2lnx+7
    • fx=2x×1x
  3. L'ensemble des solutions de l'inéquation lnx-10 est :

    • -1
    • -e
    • 0e
    • 0+
  4. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 0+.
    La fonction F est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction F est tracée dans le repère ci-dessous :

    Courbe représentative de la fonction F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'intégrale 23fxdx est égale à :

    • ln33
    • ln3
    • -ln3
    • 3ln3

exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le ministère de l'Écologie, du Développement durable, des Transports et du Logement précise les enjeux d'une parité homme-femme (égalité de leur représentation) :
« Viser une amélioration de la parité homme-femme […] peut être vu comme une manière d'aider la société à évoluer en mobilisant toutes les compétences ».
Le tableau suivant présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public de 1998 à 2008, à l'exception de 2007 :

Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010
Année 19981999200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année xi1234567891011
Part des femmes yi en %23,223,424,224,924,724,925,425,42627,2

Ce même tableau est donné en annexe et est complété par les indices des parts des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public, en prennant 1998 comme année de référence.
On a aussi, en annexe, représenté le nuage de points Mixiyi, avec 1i11 associé à la série statistique.
On se propose d'étudier l'évolution de la part des femmes dans les emplois de cadre.

  1. Calcul d'indices et de pourcentages :

    1. Vérifier que la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2007 est, arrondi au dixième, égale à 26,7 %.

    2. Calculer l'indice correspondant à l'année 2000. On précisera les calculs sur la copie.

    3. Calculer le pourcentage d'augmentation de la part des femmes entre 2005 et 2006.
      Si l'évolution amorcée entre 2005 et 2006 s'était poursuivie au même rythme, quelle aurait été la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2008 ?

  2. Ajustement affine

    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de y en x pour l'ensemble des onze points du nuage. Les coefficients seront arrondis au centième.

    2. Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie.

  3. Modélisation :
    On admet que cet ajustement affine permet de faire des prévisions au moins jusqu'en 2013.

    1. Estimer la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2012.

    2. Chloé affirme : « La parité homme-femme dans ce type d'emploi à responsabilité sera atteinte à partir de 2071 ».
      Confirmer par un calcul l'affirmation de Chloé.
      Son affirmation est-elle pertinente ?

ANNEXE

tableau

Ce tableau présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public ainsi que les indices de ces parts en prenant 1998 comme année de référence.

Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010
Année 19981999200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année xi1234567891011
Part des femmes yi en %23,223,424,224,924,724,925,425,42627,2
Indice des parts arrondi à l'unité100101107106107109109112115117

nuage de points

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins.
Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins.
Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins.
Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale.
Chaque fois qu'un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner à chaque candidat ?

  2. Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. Est-ce possible ? Justifier la réponse.

  3. Soit M la matrice associée au graphe G ( on ordonne les sommets dans l'ordre alphabétique).

    1. Écrire la matrice M.

    2. On donne les matrices M2=412212122111224112211211111122212124 et M3=669469624336946669436236636324969646
      Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu'il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins.
      Combien a-t-il de possibilités ?

    3. Donner, le trajet correspondant à la distance la plus courte lui permettant d'aller récupérer son dossard.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

L'opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d'accès internet à haut débit :

Aujourd'hui, l'entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés :

Rappels de notation : Soient A et B deux évènements,

Pour une enquête de satisfaction, la fiche d'un abonné est prélevée au hasard.
Dans cet exercice on note :

  1. En utilisant les données de l'énoncé, préciser les valeurs de pF, de pFG et de pF¯G.

  2. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

  3. Calculer pFG¯. Interpréter ce résultat.

    1. Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est de 0,8062.

    2. Peut-on affirmer qu'au moins 25 % des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ?

  4. On prélève successivement les fiches de trois abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise.
    Calculer la probabilité qu'exactement une des fiches tirées soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité q en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :

partie a : aspect graphique

Dans le repère suivant, on donne :

Courbe représentative de la fonction Cm : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

  1. Déterminer graphiquement Cm4.

  2. Déterminer graphiquement Bm4.
    Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

  3. Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
    (les valeurs seront données à la demi-tonne près).

  4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.

partie b : aspect algébrique

Dans cette partie, le coût marginal est donné par Cmq=0,5q+4-qe1-0,25q pour q appartenant à l'intervalle 020 et le prix de vente unitaire est donné par Uq=7 pour q appartenant à l'intervalle 020. On admet que la fonction Cm est dérivable sur l'intervalle 020.
Le tableau de variation de la fonction Cm est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel a est compris entre 5 et 6.

q0 a 20
Cmq +0|| 
Cmq

Cm0

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cma

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cm20

    1. Justifier que l'équation Cmq=7 admet une unique solution q0 dans l'intervalle 1020.

    2. À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de q0 au dixième.

    3. Donner, en justifiant, la valeur de Bmq0.
      Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?

  1. Vérifier que la fonction C, définie sur l'intervalle 020 par : Cq=10+0,25q2+4qe1-0,25q est une primitive de la fonction Cm. Cette fonction C est la fonction coût total.

  2. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.



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✉ A.Yallouz

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