sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par a), b), c) l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right]$ .
La courbe $C_f$ tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Le point A a pour coordonnées $\left(-2;0\right)$, le point B a pour coordonnées $\left(0;4\right)$, le point C a pour coordonnées $\left(1;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$, le point D a pour coordonnées $\left(5;0\right)$ et le point E a pour coordonnées $\left(6;0\right)$.
On précise que la droite (CE) est tangente à la courbe $C_f$ au point C et que la courbe $C_f$ admet au point B une tangente horizontale.

On note g et h les fonctions définies respectivement par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ et $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$.

1. La fonction g est définie sur l'intervalle :

   $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ donc g est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive.

   a )  $\left]-2;5\right[$

   b )  $\left[-2;5\right]$

   c )  $\left[-{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right]$

2. Le nombre $g\left(1\right)$ est égal à :

   a )   ${\displaystyle \frac{\ln 7}{\ln 2}}$

   b )  $\ln 7-\ln 2$

   c )  ${\displaystyle \frac{7}{2}}$

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f, le nombre $f\prime \left(1\right)$ est égal à :

   a )   3,5

   b )  $-{\displaystyle \frac{10}{7}}$

   c )  $-\mathrm{0,7}$

4. On note $h\prime$ la fonction dérivée de h, le nombre $h\prime \left(0\right)$ est égal à :

   $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$ donc $h\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$.

   a )  ${\mathrm{e}}^0$

   b )  0

   c )  ${\mathrm{e}}^4$

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