sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x}$ où a et b sont deux réels.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f .

1. Montrer que pour tout nombre réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(a-b-ax\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

2. On donne $f\left(0\right)=1$ et $f\prime \left(0\right)=3$. En déduire a et b.

partie b

Dans cette partie, on admettra que $a=4$ et $b=1$. Donc pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(4x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Déterminer la limite de f en $-\infty$ .

2. Déterminer la limite de f en $+\infty$. (On pourra utiliser le fait que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$)

3. Étudier les variations de f sur $ℝ$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

partie c

Une entreprise produit x centaines d'objets chaque semaine.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par la fonction f étudiée dans la partie B.

1. Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.

2. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-4x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;5\right]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   1. Calculer ${\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On arrondira le résultat à 10^{− 3} près.

   2. Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ?

      ${\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est la valeur moyenne de la fonction f sur $\left[0;5\right]$.

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