Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Centres Étrangers

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par a), b), c) l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point
.

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -526 .
La courbe Cf tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Le point A a pour coordonnées -20, le point B a pour coordonnées 04, le point C a pour coordonnées 172, le point D a pour coordonnées 50 et le point E a pour coordonnées 60.
On précise que la droite (CE) est tangente à la courbe Cf au point C et que la courbe Cf admet au point B une tangente horizontale.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note g et h les fonctions définies respectivement par gx=lnfx et hx=efx.

  1. La fonction g est définie sur l'intervalle :

     a )  -25

     b )  -25

     c )  -526

  2. Le nombre g1 est égal à :

     a )   ln7ln2

     b )  ln7-ln2

     c )  72

  3. On note f la fonction dérivée de f, le nombre f1 est égal à :

     a )   3,5

     b )  -107

     c )  -0,7

  4. On note h la fonction dérivée de h, le nombre h0 est égal à :

     a )  e0

     b )  0

     c )  e4


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat, série ES, entre 2002 et 2009.

Source : ministère de l'Éducation nationale et ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche
Année20022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi01234567
Proportion yi en %25,528,63033,136,84141,144,1
  1. Calculer le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009. On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l'unité.

  2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine et on admet qu'une équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, est y=2,73x+25,47 (les coefficients étant arrondis à 0,01 près).
    En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :

    1. Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012.

    2. Estimer l'année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60%.

  3. Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose z=lny.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10− 3 près.

      xi01234567
      zi=lnyi
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près.

    3. En déduire que y=A×BxA et B sont deux réels à déterminer. On arrondira à 0,01 près.

    4. En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1%, de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.

Ce sondage révèle que 55% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).

Ce sondage révèle aussi que :

On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement FC puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.

    2. Montrer que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,33.

  2. Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.

  3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Le responsable du sondage affirme : « Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études ».
    Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

  4. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisament important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
    Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à 10− 2 près.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au rugby, réussir une transformation consiste à faire passer le ballon entre deux poteaux verticaux et au dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux.

Basile est un joueur de rugby, il envisage de devenir professionnel.
Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants :

Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel.
On considère que lors du match, n transformations sont tentées avec n entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note T l'état : « Basile réussit sa transformation ».

Pour n1, on note :

On a P1=0,50,5

partie a

  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et T¯.

  2. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.

  3. Déterminer l'état probabiliste P2.

partie b

    1. En utilisant l'égalité Pn+1=Pn×M, montrer que pn+1=0,8pn+0,6qn.

    2. En déduire que pour tout entier n1, pn+1=0,2pn+0,6.

  1. Soit la suite un définie pour tout n1 par un=pn-0,75.

    1. Démontrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,2.

    2. En déduire que la suite pn converge et donner sa limite.

    3. Interpréter le résultat précédent.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur par fx=ax+be-xa et b sont deux réels.
On note f la fonction dérivée de f .

  1. Montrer que pour tout nombre réel x, fx=a-b-axe-x.

  2. On donne f0=1 et f0=3. En déduire a et b.

partie b

Dans cette partie, on admettra que a=4 et b=1. Donc pour tout réel x, fx=4x+1e-x.

  1. Déterminer la limite de f en − ∞ .

  2. Déterminer la limite de f en + ∞. (On pourra utiliser le fait que pour tout réel x, fx=4xex+1ex)

  3. Étudier les variations de f sur .

partie c

Une entreprise produit x centaines d'objets chaque semaine.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle 05 par la fonction f étudiée dans la partie B.

  1. Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.

  2. Démontrer que la fonction F définie sur 05 par Fx=-4x-5e-x est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.

    1. Calculer 1505fxdx. On arrondira le résultat à 10− 3 près.

    2. Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ?




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