sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et $\overline{\mathrm{T}}$.

   On considère que

   • Si Basile réussit une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à 0,8 d'où $p_{{\mathrm{T}}_n}\left({\mathrm{T}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_{{\mathrm{T}}_n}\left({\overline{\mathrm{T}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$
   • Si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à 0,6 d'où $p_{{\overline{\mathrm{T}}}_n}\left({\mathrm{T}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{{\overline{\mathrm{T}}}_n}\left({\overline{\mathrm{T}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

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3. Déterminer l'état probabiliste $P_2$.

   $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_1\times M& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\hfill & \iff & P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)$.

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partie b

1. 1. En utilisant l'égalité $P_{n+1}=P_n\times M$, montrer que $p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,6}{q}_n$.

      Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, $$\begin{array}{ccc}{P}_{n+1}=P_n\times M& \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\hfill \\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,6}{q}_n& \mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,4}{q}_n\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier $n⩾1$, $p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,6}{q}_n$.

      ---

   2. En déduire que pour tout entier $n⩾1$, $p_{n+1}=\mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,6}$.

      $p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,6}{q}_n$ avec pour tout entier $n⩾1$, $p_n+q_n=1$. D'où $$p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,6}\times \left(1-p_n\right)=\mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,6}$$

      Ainsi, pour tout entier $n⩾1$, $p_{n+1}=\mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,6}$.

      ---

2. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n⩾1$ par $u_n=p_n-\mathrm{0,75}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,2.

      Pour tout entier naturel $n⩾1$, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=p_{n+1}-\mathrm{0,75}& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,6}-\mathrm{0,75}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,2}{p}_n-\mathrm{0,15}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,2}\times \left(p_n-\mathrm{0,75}\right)\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,2}{u}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel $n⩾1$, $u_{n+1}=\mathrm{0,2}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,2.

      ---

   2. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ converge et donner sa limite.

      $$\begin{array}{ccc}{u}_1=p_1-\mathrm{0,75}& \text{Soit}& u_1=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,75}=-\mathrm{0,25}\hfill \end{array}$$

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme $u_1=-\mathrm{0,25}$ alors, pour tout entier naturel $n⩾1$, $$u_n=-\mathrm{0,25}\times {\mathrm{0,2}}^{n-1}=-\mathrm{0,125}\times {\mathrm{0,2}}^n$$

      Or pour tout entier naturel $n⩾1$, $$\begin{array}{ccc}{u}_n=p_n-\mathrm{0,75}& \iff & p_n=u_n+\mathrm{0,75}\hfill \end{array}$$

      Soit pour tout entier naturel $n⩾1$, $$p_n=\mathrm{0,75}-\mathrm{0,125}\times {\mathrm{0,2}}^n$$

      $0<\mathrm{0,2}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,2}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,75}-\mathrm{0,125}\times {\mathrm{0,2}}^n=\mathrm{0,75}$

      La suite $\left(p_n\right)$ converge vers 0,75.

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   3. Interpréter le résultat précédent.

      La suite $\left(p_n\right)$ converge vers 0,75 donc à partir d'un nombre de transformations suffisament grand au cours du match, Basile réussira chaque transformation avec une probabilité égale à 0,75.

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      remarque :

      $$\begin{array}{ccccc}{P}_3=P_1\times M^2& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)}^2\hfill & \iff & P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,74}& \mathrm{0,26}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      À partir de la troisième transformation, Basile réussira une transformation avec une probabilité proche de 0,75.

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