Soit f la fonction définie sur par où a et b sont deux réels.
On note la fonction dérivée de f .
Montrer que pour tout nombre réel x, .
La fonction f définie par est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x :
D'où pour tout réel x, on a :
est la fonction définie sur par .
On donne et . En déduire a et b.
d'où
d'où
f est la fonction définie pour tout réel x par .
Dans cette partie, on admettra que et . Donc pour tout réel x, .
Déterminer la limite de f en .
et donc par produit, .
Ainsi,
Déterminer la limite de f en . (On pourra utiliser le fait que pour tout réel x, )
Pour tout réel x,
Nous avons d'où et d'où donc par somme des limites,
Ainsi, .
Étudier les variations de f sur .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
D'après la partie A, avec et . Donc pour tout réel x, .
Or pour tout réel x, . Donc est du même signe que l'expression .
D'autre part,
Le tableau de variation de la fonction f est :
x | |||||
+ | − | ||||
0 |
calcul du maximum :
Une entreprise produit x centaines d'objets chaque semaine. Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle par la fonction f étudiée dans la partie B.
remarque :
Sur l'intervalle la fonction f est strictement décroissante. La modélisation du coût de production par la fonction f est irréaliste.
Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.
D'après la partie B, le maximum de la fonction f est atteint pour et
Le coût de production maximal est de 1 889 €
. Le coût de production de 500 objets est de 141 € alors que le coût de production de 75 objets est de 1 889 € !
Démontrer que la fonction F définie sur par est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.
La fonction F définie sur par est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x de :
D'où pour tout réel x de l'intervalle , on a :
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de f sur ce même intervalle.
Calculer . On arrondira le résultat à 10− 3 près.
F est une primitive de la fonction f sur donc
.
Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ?
est la valeur moyenne de la fonction f sur .
En moyenne, le coût de production hebdomadaire est de 966 €
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