Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur par f(x)=(ax+b)e-xa et b sont deux réels.
On note f la fonction dérivée de f .

  1. Montrer que pour tout nombre réel x, f(x)=(a-b-ax)e-x.

    La fonction f définie par f(x)=(ax+b)e-x est dérivable comme produit de fonctions dérivables. f=u×v d'où f=uv+uv avec pour tout réel x : u(x)=ax+b;u(x)=av(x)=e-x;v(x)=-e-x

    D'où pour tout réel x, on a : f(x)=ae-x-(ax+b)e-x=(a-ax-b)e-x

    f est la fonction définie sur par f(x)=(a-b-ax)e-x.


  2. On donne f(0)=1 et f(0)=3. En déduire a et b.

    • f(0)=1 d'où be0=1b=1

    • f(0)=3 d'où (a-1)e0=3a=4

    f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(4x+1)e-x.


partie b

Dans cette partie, on admettra que a=4 et b=1. Donc pour tout réel x, f(x)=(4x+1)e-x.

  1. Déterminer la limite de f en - .

    limx-4x+1=- et limx-e-x=+ donc par produit, limx-(4x+1)e-x=-.

    Ainsi, limx-f(x)=-


  2. Déterminer la limite de f en +. (On pourra utiliser le fait que pour tout réel x, f(x)=4xex+1ex)

    Pour tout réel x, (4x+1)e-x=4x+1ex=4xex+1ex

    Nous avons limx+exx=+ d'où limx+4xex=0 et limx+ex=+ d'où limx+1ex=0 donc par somme des limites, limx+4xex+1ex=0

    Ainsi, limx+f(x)=0.


  3. Étudier les variations de f sur .

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    D'après la partie A, f(x)=(a-b-ax)e-x avec a=4 et b=1. Donc pour tout réel x, f(x)=(3-4x)e-x.

    Or pour tout réel x, e-x>0. Donc f(x) est du même signe que l'expression (3-4x).

    D'autre part, 3-4x0x34

    Le tableau de variation de la fonction f est :

    x- 34 +
    f(x) +0|| 
    f(x)

    -

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    4e-34

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0

    calcul du maximum :f(34)=(4×34+1)e-34=4e-34

partie c

Une entreprise produit x centaines d'objets chaque semaine. Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle [0;5] par la fonction f étudiée dans la partie B.

remarque :

Sur l'intervalle [34;5] la fonction f est strictement décroissante. La modélisation du coût de production par la fonction f est irréaliste.

  1. Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.

    D'après la partie B, le maximum de la fonction f est atteint pour x=34 et f(34)=4e-341,889

    Le coût de production maximal est de 1 889 €


    f(5)=21e-50,141. Le coût de production de 500 objets est de 141 € alors que le coût de production de 75 objets est de 1 889 € !


  2. Démontrer que la fonction F définie sur [0;5] par F(x)=(-4x-5)e-x est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.

    La fonction F définie sur [0;5] par F(x)=(-4x-5)e-x est dérivable comme produit de fonctions dérivables. F=u×v d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de [0;5] : u(x)=-4x-5;u(x)=-4v(x)=e-x;v(x)=-e-x

    D'où pour tout réel x de l'intervalle [0;5], on a : F(x)=-4e-x-(-4x-5)e-x=(-4+4x+5)e-x=(4x+1)e-x

    Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0;5], F(x)=f(x) donc la fonction F définie sur l'intervalle [0;5] par F(x)=(-4x-5)e-x est une primitive de f sur ce même intervalle.


    1. Calculer 1505f(x)dx. On arrondira le résultat à 10− 3 près.

      F est une primitive de la fonction f sur [0;5] donc 1505f(x)dx=15×(F(5)-F(0))=-25e-5-(-5e0)5=1-5e-5

      1505f(x)dx=1-5e-50,966.


    2. Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ?

      1505f(x)dx est la valeur moyenne de la fonction f sur [0;5].

      En moyenne, le coût de production hebdomadaire est de 966 €



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