sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   On sait que :

   • 55% des anciens élèves poursuivent leurs études à la faculté, 10% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail d'où $p\left(F\right)=\mathrm{0,55}$, $p\left(I\right)=\mathrm{0,1}$ et $$p\left(T\right)=1-\mathrm{0,55}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,35}$$
   • 45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation d'où $p_F\left(C\right)=\mathrm{0,45}$ et $p_F\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55}$.
   • 30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation d'où $p_I\left(C\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_I\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.
   • 15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation d'où $p_T\left(C\right)=\mathrm{0,15}$ et $p_T\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$.

   D'où l'arbre de probabilités traduisant la situation :

2. 1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $F\cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.

      $F\cap C$ est l'évènement : « l'ancien élève poursuit ses études à la faculté et vit en colocation » et $$\begin{array}{lll}p\left(F\cap C\right)=p_F\left(C\right)\times p\left(F\right)& \text{Soit}& p\left(F\cap C\right)=\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,55}=\mathrm{0,2475}\end{array}$$

      La probabilité qu'un ancien élève poursuit ses études à la faculté et vit en colocation est égale à 0,2475.

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   2. Montrer que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,33.

      Les évènements F, I et T déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(C\right)=p\left(F\cap C\right)+p\left(I\cap C\right)+p\left(T\cap C\right)$$

      Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(I\cap C\right)=p_I\left(C\right)\times p\left(I\right)& \text{soit}& p\left(I\cap C\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,03}\\ \text{et}& p\left(T\cap C\right)=p_T\left(C\right)\times p\left(T\right)& \text{soit}& p\left(T\cap C\right)=\mathrm{0,15}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,0525}\end{array}$$

      D'où $$p\left(C\right)=\mathrm{0,2475}+\mathrm{0,03}+\mathrm{0,0525}=\mathrm{0,33}$$

      La probabilité qu'un ancien élève vive en colocation est égale à 0,33.

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3. Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_C\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap C\right)}{p\left(C\right)}}& \text{soit}& p_C\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2475}}{\mathrm{0,33}}}=\mathrm{0,75}\end{array}$$

   La probabilité qu'un ancien élève vivant en colocation poursuive ses études à la faculté est $p_C\left(F\right)=\mathrm{0,75}$.

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4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Le responsable du sondage affirme : « Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

   Calculons la probabilité $p_{\overline{C}}\left(F\cup I\right)$ qu'un élève poursuive des études sachant qu'il n'a pas fait le choix de la colocation.

   La probabilité qu'un élève poursuive des études et n'a pas fait le choix de la colocation est $$p\left(\left(F\cup I\right)\cap \overline{C}\right)=p\left(F\cap \overline{C}\right)+p\left(I\cap \overline{C}\right)$$

   Avec $$\begin{array}{llll}& p\left(F\cap \overline{C}\right)=p_F\left(\overline{C}\right)\times p\left(F\right)& \text{soit}& p\left(F\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,55}=\mathrm{0,3025}\\ \text{et}& p\left(I\cap \overline{C}\right)=p_I\left(\overline{C}\right)\times p\left(I\right)& \text{soit}& p\left(I\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,07}\end{array}$$

   D'où $$p\left(\left(F\cup I\right)\cap \overline{C}\right)==\mathrm{0,3025}+\mathrm{0,07}=\mathrm{0,3725}$$

   La probabilité qu'un élève poursuive des études sachant qu'il n'a pas fait le choix de la colocation est $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{C}}\left(F\cup I\right)={\displaystyle \frac{p\left(\left(F\cup I\right)\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}& \text{soit}& p_{\overline{C}}\left(F\cup I\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3725}}{1-\mathrm{0,33}}}\approx \mathrm{0,556}\end{array}$$

   Ainsi, plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études.

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5. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisament important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
   Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à 10^{− 2} près.

   On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisament important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont le succès est l'élève a fait le choix de la colocation.

   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'élèves ayant fait le choix de la colocation, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,33.

   L'évènement «au moins un des élèves vit en colocation» est l'évènement contraire de «aucun des élèves ne vit en colocation». D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾1\right)& =& 1-p\left(X=0\right)\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{0,67}}^3\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,70}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation est 0,70.

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