sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre.

   Arbre de probabilités traduisant la situation :

2. 1. Calculer la probabilité $p\left(A\cap R\right)$.

      $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap R\right)=p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,1125}\end{array}$$

      La probabilité que le questionnaire tiré soit celui d'un retraité acheteur de 1 à 2 familles de produits est égale à 0,1125.

      ---

   2. Déterminer la probabilité de l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits. »

      $$\begin{array}{lll}p\left(B\cap R\right)=p_B\left(R\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap R\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,31}=\mathrm{0,0775}\end{array}$$

      La probabilité que le questionnaire tiré soit celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits est égale à 0,0775.

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   3. On sait de plus que 21,7 % des acheteurs interrogés sont des retraités. Vérifier que $p\left(C\cap R\right)=\mathrm{0,027}$.

      Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

      $$\begin{array}{ccc}p\left(R\right)=p\left(A\cap R\right)+p\left(B\cap R\right)+p\left(C\cap R\right)& \iff & p\left(C\cap R\right)=p\left(R\right)-p\left(A\cap R\right)-p\left(B\cap R\right)\hfill \\ & \text{Soit}& p\left(C\cap R\right)=\mathrm{0,217}-\mathrm{0,1125}-\mathrm{0,0775}=\mathrm{0,027}\hfill \end{array}$$

      La probabilité que le questionnaire tiré soit celui d'un retraité acheteur de 5 familles de produits ou plus est égale à 0,027.

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3. Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8 %.
   Quelle décision prendra-t-il ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_C\left(R\right)={\displaystyle \frac{p\left(R\cap C\right)}{p\left(C\right)}}& \text{soit}& p_C\left(R\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,027}}{\mathrm{0,44}}}\approx \mathrm{0,061}\end{array}$$

   Parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus, environ 6,1 % sont retraités.

   Le responsable des ventes lancera une campagne publicitaire.

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