Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

énoncé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une région se divise en deux zones :

Chaque année, 20 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.

On sait de plus qu'en 2010, 40 % de la population habitait en zone A.
On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps.

Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste correspondant à l'année 2010 + n est défini par la matrice Pn=anbn, où an et bn désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et B.

  1. Déterminer la matrice ligne P0 de l'état initial.

  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

    1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

    2. Donner la répartition de la population en 2012.

  3. Dans la question suivante, on considère la matrice ligne P=aba et b sont deux nombres réels tels que a+b=1.

    1. Déterminer a et b pour que P=PM.

    2. Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75 % de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ?


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✉ A.Yallouz

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