Une région se divise en deux zones :
Chaque année, 20 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
On sait de plus qu'en 2010, 40 % de la population habitait en zone A.
On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps.
Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste correspondant à l'année 2010 + n est défini par la matrice , où et désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et B.
Déterminer la matrice ligne de l'état initial.
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
Donner la répartition de la population en 2012.
Dans la question suivante, on considère la matrice ligne où a et b sont deux nombres réels tels que .
Déterminer a et b pour que .
Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75 % de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ?
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