sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a : objectif « réaliser un bénéfice maximal ».

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
Il décide donc d'étudier la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

1. Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(500-200x\right){\mathrm{e}}^{-x-1}$

   $f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)+10$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=200x-300\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=200\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x-1}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x-1}\hfill \end{array}$$

   D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, on a : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 200{\mathrm{e}}^{-x-1}-\left(200x-300\right){\mathrm{e}}^{-x-1}\hfill \\ & =& \left(200-200x+300\right){\mathrm{e}}^{-x-1}\hfill \\ & =& \left(500-200x\right){\mathrm{e}}^{-x-1}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(500-200x\right){\mathrm{e}}^{-x-1}$

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2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x-1}>0$. Donc sur $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que l'expression $\left(500-200x\right)$.

   D'autre part, $500-200x⩽0\iff x⩾\mathrm{2,5}$
   et $f\left(\mathrm{2,5}\right)=200{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,5}}+10$ ; $f\left(0\right)=-300{\mathrm{e}}^{-1}+10$ ; $f\left(6\right)=900{\mathrm{e}}^{-7}+10$

   Le tableau de variation de la fonction f est :

   x	0		2,5		6
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$-300{\mathrm{e}}^{-1}+10$		$200{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,5}}+10$		$900{\mathrm{e}}^{-7}+10$

3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
   Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).

   Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=\mathrm{2,5}$ et $f\left(\mathrm{2,5}\right)=200{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,5}}+10\approx \mathrm{16,039}$

   Le bénéfice maximal est de 16 039 € obtenu en vendant 250 objets.

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4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction f.

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   On choisit pour la fenêtre graphique Xmin = 0 ; Xmax = 6 ; Ymin = −5 ; Ymax = 17.

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partie b : objectif « ne pas vendre à perte »

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

   Graphiquement, l'entreprise ne vend pas à perte quand la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses. Avec la précision permise par le dessin, $f\left(x\right)>0$ pour $x>\mathrm{1,1}$

   Au vu du graphique, l'entreprise ne vend pas à perte à partir de 110 d'objets.

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2. Démontrer que sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution notée α.

   $f\left(1\right)=-100{\mathrm{e}}^{-2}+10\approx -\mathrm{3,5}$ et $f\left(2\right)=100{\mathrm{e}}^{-3}+10\approx \mathrm{14,98}$.

   Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(1\right)<0<f\left(2\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;2\right]$.

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3. Donner une valeur approchée de α à 10^{− 2} près.

   La valeur arrondie au centième de α obtenue à la calculatrice est 1,09.

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4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.

   La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ et $f\left(\alpha \right)=0$ donc sur cet intervalle, $f\left(\alpha \right)⩾0$ pour $x⩾\alpha$.

   Or 1,09 est une valeur approchée au centième de α par défaut. Donc

   l'entreprise ne vend pas à perte à partir de 110 d'objets.

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