sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x centaines d'objets (pour x compris entre 0 et 6) est donné par $$f\left(x\right)=\left(200x-300\right){\mathrm{e}}^{-x-1}+10$$ Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

partie a : objectif « réaliser un bénéfice maximal ».

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
Il décide donc d'étudier la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

1. Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$f\prime \left(x\right)=\left(500-200x\right){\mathrm{e}}^{-x-1}$$

2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
   Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).

4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction f.

partie b : objectif « ne pas vendre à perte »

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

2. Démontrer que sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution notée α.

   théorème de la valeur intermédiaire

   Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

3. Donner une valeur approchée de α à 10^{− 2} près.

4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.

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