Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2014

corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour.
On modélise le coût total de production par une fonction C.
Lorsque x désigne le nombre d'objets fabriqués, exprimé en centaines, C(x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d'euros.
La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe.

partie a

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe.

Graphe #x1D4A2; : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

remarque

En raison de l'imprécision de la lecture graphique, les réponses peuvent être légèrement différentes.

  1. Quel est le coût total de production pour 450 objets ?

    L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 4,5 est à peu près égale à 240 :

    Le coût total de production pour 450 objets est d'environ 24 000 euros.


  2. Combien d'objets sont produits pour un coût total de 60000 euros ?

    L'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 600 est à peu près égale à 6,5 :

    Environ 650 objets sont produits pour un coût total de 60000 euros.


  3. On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C.

    1. Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets.

      Graphiquement, le nombre dérivé C(a) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a

      • La tangente à la courbe au point A d'abscisse 4,5 est parallèle à l'axe des abscisses donc C(4,5)=0

        Le coût marginal pour une production de 450 objets est quasiment nul.


      • La tangente à la courbe au point B d'abscisse 6 est délicate à tracer, la droite passant par les points de coordonnées entières (5;100) et (7;600) semble convenir. Par conséquent, C(6)250 (suivant la précision du tracé, toute valeur comprise entre 250 et 300 est acceptable)

        Le coût marginal est le coût associé à la production d'une unité supplémentaire. Quand l'entreprise produit 600 objets, le coût de production d'une centaine d'objets supplémentaire est d'environ 250 centaines d'euros.

        Pour une production de 600 objets, le coût marginal d'un objet suppémentaire est d'environ 250 euros.


    2. Que pensez-vous de l'affirmation : « le coût marginal est croissant sur l'intervalle [0;7] » ?

      La courbe a pour point d'inflexion le point de coordonnées (4,5;240) donc la fonction coût C change de convexité en 4,5. C est concave sur l'intervalle [0;4,5] et convexe sur [4,5;7].

      Le coût marginal est décroissant sur l'intervalle [0;4,5] et croissant sur l'intervalle [4,5;7] donc l'affirmation est fausse.


partie b

Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.

  1. On note r la fonction «recette». Pour tout nombre réel x dans l'intervalle [0;7], r(x) est le prix de vente, en centaines d'euros, de x centaines d'objets.
    Représenter la fonction r dans le repère donné en annexe.

    La courbe représentative de la fonction r est la droite d'équation y=75x

    Graphe #x1D4A2; : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. En utilisant les représentations graphiques portées sur l'annexe, répondre aux questions qui suivent.

    1. En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l'entreprise, la fourchette maximale de rentabilité ? Justifier la réponse.

      Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.

      Avec la précision permise par le dessin, la « plage de rentabilité » est obtenue pour une production comprise entre 270 et 630 objets.


    2. Que penser de l'affirmation : « il est préférable pour l'entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600 objets » ?

      Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale.

      Il est donc préférable pour l'entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600 objets.



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