Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine 2014

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés A¯ et B¯.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Alors

     a.   PAB=0,18

     b.   PAB=0,9

     c.   PAB¯=0,7

     d.   PB=0,5

  2. Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement B est égale à :

     a.   0,5

     b.  0,18

     c.   0,26

     d.   0,38

  3. On considère une fonction f définie et continue sur l'intervalle 115. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous.

    x134 12 15
    fx

    3

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -3


    Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle 115. On peut être certain que :

    1. La fonction F est négative sur l'intervalle 34.

    2. La fonction F est positive sur l'intervalle 412.

    3. La fonction F est décroissante sur l'intervalle 412.

    4. La fonction F est décroissante sur l'intervalle 13.

  4. Pour tout réel x de l'intervalle 0+, l'équation lnx+lnx+3=3ln2 est équivalente à l'équation :

     a.  2x+3=6

     b.   2x+3=8

     c.   x2+3x=6

     d.   x2+3x=8

  5. g est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par gx=5x. On note C sa courbe représentative.
    L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=2 et x=6, est égale à :

     a.  5ln6-ln2

     b.   16-226gxdx

     c.   5ln6+5ln2

     d.   g6-g2


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1500 m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m2 et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface en m2 de terrain engazonné au bout de n années, c'est-à-dire à l'automne 2010 + n. On a donc u0=1 500.

  1. Calculer u1.

  2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, un+1=0,8un+50.

  3. On considère la suite vn définie pour tout nombre entier naturel n par : vn=un-250.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

    2. Exprimer vn en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, un=250+1250×0,8n.

    3. Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?

    1. Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que : 250+1250×0,8n<500.
      Interpréter le résultat obtenu.

    2. Compléter l'algorithme pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.

      initialisation

      • u prend la valeur 1500
      • n prend la valeur 0

      traitement

      • Tant que ....................... faire
        • u prend la valeur .......................
        • n prend la valeur .......................
      • Fin Tant que

      sortie

      • Afficher n
  4. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
    A-t-il raison ? Justifier la réponse.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches.
Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4.
On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Alice atteint la cible » et B l'état « Alice manque sa cible »).

    2. Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).

    3. Justifier que P1=0,50,5 et P2=0,650,35.

    1. Montrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, an+1=0,9an+0,4bn.

    2. En déduire que, pour tout nombre entier n strictement positif, an+1=0,5an+0,4.

    1. Compléter l'algorithme de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au n-ième lancer.

      entrées

      • Saisir n

      traitement

      • a prend la valeur 0,5
      • b prend la valeur 0,5
      • Pour i allant de 2 à n

        • a prend la valeur ×a+
        • b prend la valeur 1-a
      • Fin Pour

      sortie

      • Afficher a, b
    2. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour n=5.

    1. On considère la suite un définie pour tout nombre entier naturel n strictement positif par : un=an-0,8.
      Montrer que la suite un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Donner l'expression de un en fonction de n, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel n strictement positif, an=0,8-0,3×0,5n-1.

    3. À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?

    4. Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle 2060.

  1. Calculer la probabilité p pour que l'entrainement dure plus de 30 minutes.

  2. Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat.

partie b

Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.

On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11.

  1. Déterminer la probabilité p1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.

  2. Déterminer la probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.

  3. En déduire la probabilité p3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.

partie c

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14000 licenciés quant à l'organisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?

  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe suivante.

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

A. étude graphique :

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

  1. la concentration à l'instant initial ;

  2. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre.
    On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle 015 par fx=x+2e-0,5x, où x représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et fx la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Justifier que fx=-0,5xe-0,5x et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur 015.

  2. Justifier que l'équation fx=0,1 admet une unique solution α sur l'intervalle 015.

  3. Déterminer un encadrement de α d'amplitude un dixième.

  4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

     1 deriver ((x + 2)*exp(-0.5*x))
    exp(-0.5*x) − 0.5* exp(-0.5*x)*(x + 2)
     2 deriver (exp(-0.5*x) − 0.5*exp(-0.5*x)*(x + 2))
    -exp(-0.5*x) + 0.25 *exp(-0.5*x)*(x + 2)
     3 factoriser (-exp(-0.5*x) + 0.25*exp(-0.5*x)*(x + 2))
    (0.25*x − 0.5)*exp(-0.5*x)

    En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 015 et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

C. interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

  1. On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

  2. Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ?



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