Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2014

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :

Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :

Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas.
À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :

  1. On prend un candidat au hasard et on note :

    • D l'évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité » ;
    • R l'évènement « le candidat est recruté par l'entreprise ».
    1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

    2. Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise.

    3. Montrer que la probabilité de l'évènement DR est égale a 0,24.

    4. En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a).

  2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes.

    1. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,38.

    2. Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10-3.

  3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines.
    Coralie arrive à 8h 30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8h et 9h.
    On désigne par T la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que T suit la loi uniforme sur l'intervalle 89.
    Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.


exercice 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur par fx=xex2-1. 𝒞f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan.
On note f la fonction dérivée de f et f la fonction dérivée seconde de f.

    1. Montrer que pour tout réel x, fx=2x2+1ex2-1.

    2. En déduire le sens de variation de f sur .

  1. On admet que pour tout réel x, fx=2x2x2+3ex2-1.
    Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

  2. Soit h la fonction définie sur par hx=x1-ex2-1.

    1. Justifier que l'inéquation 1-ex2-10 a pour ensemble de solutions l'intervalle -11.

    2. Déterminer le signe de hx sur l'intervalle -11.

    3. En remarquant que pour tout réel x, on a l'égalité hx=x-fx, déduire de la question précédente la position relative de la courbe 𝒞f et de la droite D d'équation y=x sur l'intervalle 01.

  3. Soit H la fonction définie sur par Hx=12x2-12ex2-1 et soit I=01hxdx.
    On admet que H est une primitive de la fonction h sur .
    Calculer la valeur exacte de I.

partie b : Applications

Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle 01 :

Courbes : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les courbes 𝒞f et 𝒞g illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

Par exemple :
Le point M0,50,125 est un point appartenant à la courbe 𝒞g. Pour l'entreprise G cela se traduit de la façon suivante :
si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des 50% aux revenus les plus faibles) représente 12,5% de la masse salariale.

  1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité.

  2. On note Af l'aire du domaine délimité par la droite D, la courbe 𝒞f et les droites d'équations x=0 et x=1.
    On appelle indice de Gini associé à la fonction f, le nombre réel noté If et défini par If=2×Af.

    1. Montrer que If=1e.

    2. On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire.
      Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique unun représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année 2013+n, avec n entier naturel. On a donc u0=500.

    1. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.

    2. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,7un+300

  2. On souhaite, pour un entier n donné, afficher tous les termes de la suite un du rang 0 au rang n.
    Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

    Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    Afficher u
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Fin de l'algorithme

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    Afficher u
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Afficher u

    Fin de l'algorithme

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Afficher u

    Fin de l'algorithme

  3. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par : vn=un-1000.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique de raison q=0,7.

    2. En déduire que pour tout entier naturel n, un=1000-500×0,7n.

    3. Déterminer la limite de la suite un.

    4. Interpréter le résultat précédent.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un990.

    2. Interpréter le résultat trouvé précédemment.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

On considère le graphe 𝒢 ci-dessous.

Graphe #x1D4A2; : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer en justifiant si le graphe 𝒢 est complet.

    2. Déterminer en justifiant si le graphe 𝒢 est connexe.

    1. Donner le degré de chacun des sommets du graphe 𝒢.

    2. Déterminer en justifiant si le graphe 𝒢 admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.

    1. Donner la matrice M associée au graphe 𝒢 (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).

    2. On donne :M2=422122211251311120214211122132411010211122000211122000211000321122100241102000112
      Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice M3 est égal à 3.

partie b

Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s’aidant de la partie A

On donne ci-dessous le plan simplifié d’un lycée

Graphe #x1D4A2; : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Le graphe 𝒢 donné en partie A modélise cette situation. Recopier et compléter le tableau suivant :

    Sommet du graphe 𝒢ABCDEFGHI
    Lieu correspondant dans le lycée
  2. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez vous avec ses parents.
    Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l’élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins.

  3. Le lycée organise une journée portes-ouvertes.

    1. Déterminer, en justifiant, s’il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux.

    2. Sur les arêtes du graphe 𝒢 sont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée.

      Graphe #x1D4A2; : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Déterminer, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet D en un temps minimal.
      Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde.


exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

  1. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
    On admet que X suit la loi normale d'espérance μ=250 et d'écart type σ=10.

    1. affirmation 1 : Environ 95 % des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre 230 et 270 pages.

    2. affirmation 2 : Moins de 50 % des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à 300 pages.

  2. L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80 % des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à 250 pages.
    Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
    Dans un échantillon de taille 1000, le contrôleur a obtenu 240 cartouches vides d'encre avant l'impression de 250 pages.

    affirmation 3 : Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise.

  3. L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses 10 000 clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
    Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau 0,95 avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4 %.

    affirmation 4 : L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients.




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