Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2014

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -25, croissante sur -22 et décroissante sur 25. On note f la fonction dérivée de la fonction f.
La courbe (𝒞) tracée ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points A-20 ; B243 et C40.
Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente (T) au point C passe par le point D23.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On s'intéresse aux résultats d'un concours où l'on ne peut pas se présenter plus de deux fois.

partie a : étude des résultats de mai 2013

Les statistiques dressées à partir des résultats de la session de mai 2013 ont permis d'établir que :

On interroge au hasard une personne parmi toutes celles ayant passé ce concours en mai 2013.
On note :

On note A¯ l'évènement contraire de l'évènement A.

  1. Déterminer les probabilités suivantes : PC1R ; PC1¯R et PC1.
    Aucune justification n'est attendue.

    Pour traiter la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'un arbre.

  2. Déterminer la probabilité que cette personne se soit présentée au concours pour la première fois et ait été admise.

  3. Montrer que la probabilité que cette personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est de 0,22.

  4. Sachant que cette personne a réussi le concours, déterminer la probabilité qu'elle l'ait présenté pour la première fois. Donner une valeur arrondie au centième.

partie b : résultats d'un établissement

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.

Dans un établissement, parmi les 224 étudiants inscrits à la préparation à ce concours, 26 % ont été admis à la session de mai 2013.
On admet que dans cette population, on a également 60 % des personnes qui se présentaient pour la première fois.
Le directeur de l'établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de 22 %, ne peut être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l'enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l'ensemble des candidats.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % du pourcentage d'étudiants admis dans un groupe de 224 personnes.

  2. Que penser de l'affirmation du directeur de l'établissement ? Justifier.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H.
Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine à l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où :

La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H, est M=0,950,050,10,9.

  1. Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice M.

  2. Donner la signification du nombre 0,95 dans la matrice M.

    Pour tout entier naturel n, on note :

    • an la probabilité de l'évènement : « La semaine n, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A » ;
    • hn la probabilité de l'évènement : « La semaine n, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H » ;
    • Pn la matrice anhn correspondant à l'état probabiliste pour la semaine n.
  3. Vérifier que la matrice ligne P=2313 correspond à l'état stable du système. En donner une interprétation.

  4. On donne P0=0,40,6 et on rappelle que Pk=P0×Mk, pour k entier naturel.
    Déterminer la semaine où, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H.

partie b

Le directeur de l'entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible.
Son assistant dresse le graphe suivant qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilomètres à effectuer. Justifier la réponse.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.

partie a

Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction f, le nombre de malades durant l'épidémie.
Cette fonction f est définie sur 126 par : ft=24tlnt-3t2+10t est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et ft est le nombre de milliers de malades comptabilisés après t semaines.

  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f.
    Montrer que, pour tout réel t de l'intervalle 126, ft=24lnt-6t+24.

  2. Les variations de la fonction f sont données dans le tableau suivant :

    t1 4 26
    ft  fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que l'équation ft=0 admet, dans l'intervalle 126, une solution et une seule qu'on notera α et donner l'encadrement de α par deux entiers naturels consécutifs.

    2. En déduire le signe de ft sur 126 et les variations de f sur 126.

  3. Le réel ft représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.

    1. Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : « sur 426, f est décroissante.»

    2. À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.

partie b

On admet que la fonction G définie par Gt=12t2lnt-6t2 est une primitive sur 126 de la fonction g définie par : gt=24tlnt.

  1. Déterminer, sur 126, une primitive F de la fonction f.

  2. On a trouvé que l'arrondi à l'entier de 126-1F26-F1 est 202. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte du problème.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1er janvier 2008.

partie a : un premier modèle

Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5 % par an depuis le 1er janvier 2008.

  1. Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1er janvier 2008 et le 1er janvier 2014. Donner une réponse à 0,1 % près.

  2. À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1er janvier à l'aide d'une suite :
    Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1er janvier de l'année 2008 + n.
    Au 1er janvier 2008, cette ville comptait 100000 habitants.

    1. Que vaut u0 ?

    2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un=1,035n.

    3. Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.

partie b : un second modèle

On modélise la population de cette ville à partir du 1er janvier 2008 par la fonction f définie sur 0+ par : fx=31+2e-0,05xx désigne le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2008 et fx le nombre d'habitants en centaines de milliers.
On admet que f est croissante sur 0+.

On considère l'algorithme suivant :

initialisation :

X prend la valeur 0

traitement :

Tant que fx2
X prend la valeur X+1
Fin Tant que

Sortie :

Afficher X

Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est 28. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème.




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