sujet : Polynésie 2014

corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel n par : $$\{\begin{array}{l}{u}_0=5\\ u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+1\end{array}\begin{array}{}\end{array}$$

partie a

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
   Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
   Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

   Algorithme 1		Algorithme 2		Algorithme 3
   variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers. Début Saisir une valeur pour N U prend la valeur 5 Pour i de 0 à N Faire Affecter à U la valeur ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times u+1$ Fin Pour Afficher U Fin		variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers. Début Saisir une valeur pour N Pour i de 0 à N Faire U prend la valeur 5 Afficher U Affecter à U la valeur ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times u+1$ Fin Pour Fin		variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers. Début Saisir une valeur pour N U prend la valeur 5 Pour i de 0 à N Faire Afficher U Affecter à U la valeur ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times u+1$ Fin Pour Fin

   • Dans l'algorithme 1, la valeur de U est affichée une fois que la boucle Pour est terminée. Cet algorithme ne permet donc d'afficher que le terme de rang n. Par conséquent, il ne convient pas.

   • Dans l'algorithme 2, la valeur de U est réinitialisée à 5 à chaque étape de la boucle avant d'être affichée. Cet algorithme va afficher $n+1$ fois le terme initial. Par conséquent, il ne convient pas.

   L'algorithme 3 est le seul algorithme qui convienne.

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2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :

   5

   3,5

   2,75

   2,375

   2,185

   2,0938

   2,0469

   2,0234

   2,0117

   2,0059

   Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

   Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et converge vers 2.

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partie b

On introduit une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-2$.

1. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme $v_0$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-2\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+1-2\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n-1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(u_n-2\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n\hfill \end{array}$$

   Pour tout entier n, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ de premier terme $v_0=u_0-2=3$.

   ---

2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a $u_n=2+3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de premier terme $v_0=3$ donc pour tout entier n, $v_n=3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$

   Comme pour tout tout entier naturel n, $v_n=u_n-2\iff u_n=v_n+2$, on en déduit que :

   pour tout entier naturel n, $u_n=2+3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

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3. Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(2+3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}\right)-\left(2+3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\right)\hfill \\ & =& 3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}-3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\hfill \\ & =& 3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-1\right)\hfill \\ & =& -3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}\hfill \end{array}$$

   Or pour tout entier n, ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}>0$, d'où $u_{n+1}-u_n<0$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

   $0<{\displaystyle \frac{1}{2}}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }2+3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=2$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.

   Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 2.

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5. À partir de quel rang a-t-on : $u_n-2⩽{10}^{-6}$ ?

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{cccc}{u}_n-2⩽{10}^{-6}& \iff & 3\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩽{10}^{-6}\hfill & \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩽{\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{3}}\hfill & \\ & \iff & 2^n⩾3\times {10}^6\hfill & \text{Car }{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩽{\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{3}}\iff {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3\times {10}^6}}\iff 2^n⩾3\times {10}^6\hfill \\ & \iff & \ln \left(2^n\right)⩾\ln \left(3\times {10}^6\right)\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln 2⩾\ln \left(3\times {10}^6\right)\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(3\times {10}^6\right)}{\ln 2}}\hfill & \end{array}$$

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   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left(3\times {10}^6\right)}{\ln 2}}\approx \mathrm{21,5}$, c'est à partir du rang 22 que $u_n-2⩽{10}^{-6}$.

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