Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte 1 point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l'ensemble des transports vers cette île.

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s'y étant rendus a produit les résultats suivants :

On interroge au hasard un touriste s'étant rendu sur l'île :

  1. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est :

     a.  0,08

     b.  0,12

     c.  0,24

     d.  0,88

  2. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu'il est satisfait de son transport est :

     a.  0,34

     b.  0,20

     c.  0,25

     d.  0,83

  3. On rappelle que 48 % de l'ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l'île. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l'île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l'île.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de F est :

     a.  0,3820,578

     b.  0,4310,529

     c.  0,4700,490

     d.  0,4750,485

  4. On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l'île parmi les 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne μ=48 et σ=5.
    La probabilité, selon ce modèle, qu'il y ait moins de 40 touristes satisfaits est, à 0,001 près :

     a.  0,055

     b.  0,309

     c.  0,347

     d.  0,374

  5. La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l'île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l'intervalle 3050.
    La probabilité que la traversée entre le continent et l'île dure au moins 35 minutes est :

     a.  0,25

     b.  0,35

     c.  0,70

     d.  0,75


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe 𝒞 ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -12.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la fonction dérivée de la fonction f.
Le point G a pour coordonnées 02.
Le point H a pour coordonnées 13.
La droite (GH) est la tangente à la courbe 𝒞 au point G.
La courbe 𝒞 admet une tangente horizontale au point S d'abscisse ln2.
Le domaine hachuré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation x=1 et la courbe 𝒞.

partie a

Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique :

  1. Donner les valeurs de f0 et f0.

  2. Résoudre sur -12 l'inéquation fx0.

  3. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique.

partie b

On admet que la fonction f est définie sur -12 par fx=ax+b-exa et b sont deux réels.

  1. Calculer fx.

  2. Justifier que a=2 et b=3.

  3. Déterminer, sur -12, une primitive F de la fonction f.

  4. En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d'accrobranches.
Les différents parcours sont modélisés par le graphe Γ ci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1.
    Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire.

  2. On note M la matrice associée au graphe Γ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres.

    1. Écrire la matrice M.

    2. On donne, ci-dessous, les matrices M2 et M3. M2=3221124112212111112212123etM3=4735776667362355632377534 L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront à l'arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.
      Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d'itinéraires express » réalisables.
      (On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)

  3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l'arbre 4.
    La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction f dont la courbe 𝒞 est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives 28,1, 102,5 et 200.

    La fonction f est définie sur 020 par fx=ax2+bx+ca, b et c sont trois nombres réels.

    1. Justifier que a, b et c sont solutions du système : {400a+20b+c=0100a+10b+c=2,54a+2b+c=8,1

    2. Déterminer les matrices X et V pour que le système précédent soit équivalent à UX=V et U=400201100101421.

    3. Déterminer a, b et c.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante :

En 2010 cette société comptait 1500 abonnés.

On considère la suite an définie par an+1=0,6an+400 et a0=1500.

  1. Justifier que la suite an modélise le nombre d'abonnés pour l'année 2010+n.

  2. On considère la suite vn définie par vn=an-1000.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Déterminer l'expression de vn en fonction de n.

    3. En déduire que : an=500×0,6n+1000.

  3. En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.

    1. Quelle a été la recette de cette société en 2010 ?

    2. Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5 %. On note Pn le prix de l'abonnement annuel pour l'année 2010+n.

      Indiquer la nature de la suite Pn en justifiant la réponse.
      En déduire l'expression de Pn en fonction de n.

    3. Montrer que, pour l'année 2010+n, la recette totale annuelle Rn réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par : Rn=500×0,6n+1000×400×1,05n.

    4. Trouver, à l'aide de votre calculatrice, l'année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :

1dériver lnxx
1-lnxx2
2dériver 1x2
-2x3
3dériver lnxx2
1-2lnxx3

On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l'exercice.

On considère la fonction f définie sur 110 par fx=lnxx et on note 𝒞 sa courbe représentative dans un repère.
La fonction f est deux fois dérivable sur 110, on note f sa fonction dérivée et f sa fonction dérivée seconde.

    1. Déterminer fx sur 110.

    2. Construire le tableau de variation de la fonction f sur 110.

    1. Justifier que fx=2lnx-3x3 sur 110.

    2. Étudier le signe de f sur 110.

    3. En déduire que la courbe 𝒞 possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    initialisation :

    X prend la valeur 2
    Y prend la valeur ln22
    Z prend la valeur ln2,12,1

    traitement :

    Tant que Y<Z Faire
    X prend la valeur X+0,1
    Y prend la valeur lnXX
    Z prend la valeur lnX+0,1X+0,1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher X

    1. Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième :

      XYZTest : Y<Z
      20,34660,3533vrai
      2,10,35330,3584vrai
      2,2
       
       
    2. Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction f ?



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