Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine septembre 2014

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s'intéresse à deux caractéristiques :

Il obtient les résultats suivants :

On choisit au hasard la fiche d'un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d'être tirée.
On note les évènements suivants :

On note pT la probabilité de l'évènement T et pTC la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement T est réalisé.
Pour tout évènement A, on note A¯ l'évènement contraire de l'évènement A.

Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième.

partie a

  1. Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L'arbre pourra être complété tout au long de cet exercice.

  2. Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est 0,4.

  3. On sait aussi que 70 % des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine.

    1. Calculer la probabilité pBC.

    2. En déduire pBC et compléter l'arbre pondéré précédent.

  4. Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle.

partie b

On prélève un lot de 120 fiches dans le fichier client du revendeur.
On s'intéresse, dans un tel lot, au nombre de clients ayant choisi d'installer un chauffage pour leur piscine. On modélise ce nombre par la variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ=84 et d'écart-type σ=5.

  1. Calculer la probabilité qu'il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées.

  2. Calculer la probabilité qu'au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d'installer un chauffage pour leur piscine.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.
À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l'établissement, le lycée conserve 70 % de son effectif pour l'année suivante.
Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée.

  1. Calculer le nombre d'élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014.

  2. On définit la suite an par : a0=700 et, pour tout entier naturel n, an+1=0,7×an+240.
    Soit la suite un définie pour tout entier naturel n par un=an-800.

    1. Montrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,7.
      Préciser son premier terme.

    2. Exprimer un en fonction de n.

    3. En déduire l'expression de an en fonction de n.

  3. On choisit de modéliser le nombre d'élèves du lycée par les termes de la suite an.
    Il faudra agrandir le lycée dès que l'effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves.

    1. Montrer que résoudre l'inéquation 800-100×0,7n780 revient à résoudre l'inéquation 0,7n0,2.

    2. En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ?


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d'apprentissage : DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).
Au 1er septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait :

D'une année sur l'autre, on constate que :

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

Soit Pn=dncnen la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d'apprentissage D, C et E au 1er septembre de l'année 2012+n pour tout entier naturel n.

    1. Donner sans justification la matrice P0.

    2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.

    On donne la matrice carrée M de transition en respectant l'ordre D, C, E des sommets : M=0,40,6000,60,40,10,10,8.
    Dans la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) : M5=0,0850,3310,5840,0970,2930,6100,1040,2980,598M10=0,1000,2990,6010,1000,3000,6000,1000,3000,600

  1. Dans cette matrice on lit 0,6 et 0,8 en gras.

    1. Préciser, à l'aide d'une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée.

    2. Calculer P1.

    3. Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1er septembre 2017. Les résultats seront donnés à 0,1 % près.

    1. En calculant P10, émettre une conjecture sur la matrice P correspondant à l'état probabiliste stable.

    2. Vérifier cette conjecture.

    3. Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents ?


exercice 3 ( 3 points ) commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie sur et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé.
Les points suivants appartiennent à la courbe : A-20 ; B06 et C30.

Courbe représentative de la fonction f'' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.

  1. La courbe représentative de f admet-elle des points d'inflexion ?

  2. Sur -23, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

  3. Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction f : laquelle ? Justifier la réponse.

    Courbe 1Courbe 2
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur 0,510 par : fx=-x2-4x+15+6lnx.
On note f la fonction dérivée de la fonction f.

  1. Vérifier que fx=-2x2-4x+6x.

  2. Étudier le signe de la fonction f sur 0,510, en déduire le tableau de variations de f sur 0,510.

  3. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur l'intervalle 0,510.
    Donner une valeur approchée de α à 10-2 par défaut.

  4. On considère la fonction F définie et dérivable sur 0,510 telle que : Fx=-13x3-2x2+9x+6xlnx.
    Montrer que F est une primitive de f sur 0,510.

  5. Calculer I=13fxdx. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième.

  6. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 13 : en donner une valeur approchée au millième.



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