Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Sud 2014

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres : les livres à support numérique et les livres à support papier.
Le service des prêts observe que 85 % des livres empruntés sont à support papier.
Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les quinze jours suivant son emprunt.
Une étude statistique montre que 62 % des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que 32 % des livres à support papier sont rendus dans les délais.

Un lecteur, choisi au hasard, emprunte un livre de cette bibliothèque. On note :

Pour tout évènement A, on note A¯ son évènement contraire.

  1. La probabilité de D sachant N est égale à :

     a.   0,62

     b.   0,32

     c.   0,578

     d.   0,15

  2. PN¯D¯ est égale à :

     a.   0,907

     b.   0,272

     c.   0,578

     d.   0,057

  3. La probabilité de l'évènement D est égale à :

     a.   0,272

     b.   0,365

     c.   0,585

     d.   0,94


  4. On appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,62.

  5. La probabilité à 10-3 près d'avoir X1 est :

     a.   0,8

     b.   0,908

     c.   0,092

     d.   0,992

  6. L'espérance de X est :

     a.   3,1

     b.   5

     c.   2,356

     d.   6,515


EXERCICE 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 04 par fx=3x-4e-x+2.

  1. On désigne par f la dérivée de la fonction f.
    Montrer que l'on a, pour tout x appartenant à l'intervalle 04, fx=7-3xe-x.

  2. Étudier les variations de f sur l'intervalle 04 puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

    1. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur l'intervalle 04.

    2. Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 0,01 près.

  3. On considère la fonction F définie sur l'intervalle 04 par Fx=1-3xe-x+2x.

    1. Montrer que F est une primitive de f sur 04.

    2. Calculer la valeur moyenne de f sur 04.

  4. On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle 04 par fx=3x-10e-x.

    1. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

    2. Montrer que la courbe représentative 𝒞 de la fonction f possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 1200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2 % chaque semaine pour les éditions suivantes.
L'agence souhaite dépasser les 4000 journaux vendus par semaine.

On modélise cette situation par une suite unun représente le nombre de journaux vendus n semaines après le début de l'opération. On a donc u0=1200.

  1. Calculer le nombre u1 de journaux vendus une semaine après le début de l'opération.

  2. Écrire, pour tout entier naturel n, l'expression de un en fonction de n.

  3. Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500.

  4. Voici un algorithme :

    variables :

    U est un réel
    N est un entier naturel

    initialisation :

    U prend la valeur 1200
    N prend la valeur 0

    traitement :

    Tant que U<4000
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur 1,02×U
    Fin du Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    1. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.

    2. Interpréter le résultat précédent.

    1. Montrer que, pour tout entier n, on a : 1+1,02+1,022++1,02n=50×1,02n+1-1

    2. On pose, pour tout entier n, Sn=u0+u1++un.
      À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : Sn=60000×1,02n+1-1

    3. Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La première semaine de l'année, le responsable de la communication d'une grande entreprise propose aux employés de se déterminer sur un nouveau logo, le choix devant être fait par un vote en fin d'année.
Deux logos, désignés respectivement par A et B, sont soumis au choix.
Lors de la présentation qui se déroule la première semaine de l'année, 24 % des employés sont favorables au logo A et tous les autres employés sont favorables au logo B.
Les discussions entre employés font évoluer cette répartition tout au long de l'année.
Ainsi 9 % des employés favorables au logo A changent d'avis la semaine suivante et 16 % des employés favorables au logo B changent d'avis la semaine suivante.

Pour tout n1, on note :

On a donc, pour tout n1, an+bn=1 et P1=0,240,76.

  1. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  2. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.

    1. À l'aide de la relation Pn+1=Pn×M, exprimer, pour tout n1, an+1 en fonction de an et de bn.

    2. En déduire que l'on a, pour tout n1, an+1=0,75an+0,16.

  3. À l'aide de la calculatrice, donner, sans justifier, la probabilité à 0,001 près qu'un employé soit favorable au logo A la semaine 4.

  4. On note P=ab l'état stable de la répartition des employés.

    1. Déterminer un système de deux équations que doivent vérifier a et b.

    2. Résoudre le système obtenu dans la question précédente.

    3. On admet que l'état stable est P=0,640,36. Interpréter le résultat.

  5. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    A est un réel
    N est un entier naturel

    initialisation :

    A prend la valeur 0,24
    N prend la valeur 0

    traitement :

    Tant que A<0,639
    N prend la valeur N+1
    A prend la valeur 0,75×A+0,16
    Fin du Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir (on ne demande pas de donner la valeur de N affichée).


exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Les probabilités et les fréquences demandées seront données à 0,001 près.

Dans un atelier de confiserie, une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.

partie 1

On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres μ=500 et σ=9.

    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse X soit comprise entre 485 g et 515 g.

    2. L'atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485 g et 515 g.
      Déterminer le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard.
      La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

  1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse X soit supérieure ou égale à 490 g.

    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer à l'unité près l'entier m tel que PXm=0,01.

    2. Interpréter ce résultat.

partie 2

La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25 % de berlingots parfumés à l'anis.
On prélève 400 berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l'anis.

  1. Déterminer un intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400 berlingots.

  2. Calculer la fréquence f des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé.

  3. Déterminer si, au seuil de confiance de 95 %, la machine est correctement programmée.



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